すべての入力で停止するTMがありますが、そのプロパティは証明できませんか？

すべての入力で停止するチューリングマシンはありますが、そのプロパティは何らかの理由で証明できませんか？

この質問が研究されたかどうか疑問に思っています。「証明不能」とは、「限定的な」証明システムを意味する場合があることに注意してください（弱い意味では、答えはイエスであると考えられます）。もちろん、可能な限り最強の答え、つまり、ZFC集合論などのすべての入力で停止することが証明できない答えに興味があります。

これは、アッカーマン関数に当てはまる可能性がありますが、詳細は曖昧です。ウィキペディアがこの側面を明確に説明しているようには見えません。

はい。入力から始まりグッドシーケンスを計算し、シーケンスがゼロに達すると終了するチューリングマシン。常に終了しますが、これはペアノ​​算術では証明できません。ZFCまたは他のシステムを選択する場合、同等のものがあると確信しています。

Edit For ZF、Hartmanis、Hopcroft は、すべての入力を拒否するチューリングマシンことを示していますが、これはZFで証明できないことを示しています。ZFが常に停止することを証明できるかどうかはわかりませんが、マシン "を受け入れて永遠にループする場合、停止する" ことを証明することはできません。それでもZFCは開いたままですが、ZFはPAよりも強力です。M M ′（x ）= M $M$$M$$M'(x)$ $=$$M$$x$

セクションを参照してください。Hartmanis–Hopcroftの結果の説明と元の論文への引用に関するP = NPの独立性に関するScott Aaronsonの調査の 3 。

少なくとも「基本」算術と同じくらい強力で、再帰的に列挙可能な理論を考えます（すべての定理を列挙することは可能です）。${\cal T}$${\cal T}$

入力次のように動作する次のマシン構築します。$M$$n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

2番目の不完全性定理を使用すると、はがすべての入力で終了することを証明できないことを示すのは非常に簡単です（一貫性がある場合）。${\cal T}$$M$

もちろん、これは、、 で機能します...それらが一貫している限り。T = P A T = P A ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$${\cal T}=\mathrm{PA}$${\cal T}=\mathrm{PA²}$

PAでは証明できないものもありますが、真の定理はチューリングマシンに変換できます。たとえば、ラムジーの定理（強化版）があり、これはPAでは証明できず、正しい検索するだけのマシンを構築できます。$N$