2つの大きなセット間のセットの差の計算

整数と 2つの大きなセットがあります。各セットには約100万のエントリがあり、各エントリは最大10桁の正の整数です。 $A$$B$

およびを計算する最適なアルゴリズムは何ですか？つまり、ないのエントリのリストを効率的に計算するにはどうすればよいですか？これらの操作を効率的にするために、これら2つのセットを表すのに最適なデータ構造は何でしょうか？B ∖ A A $A\setminus B$$B\setminus A$$A$$B$

私が思いつく最良の方法は、これらの2つのセットをソート済みリストとして保存し、のすべての要素をすべての要素と線形に比較することです。もっと良くできますか？$A$$B$

特殊なデータ構造にセットを保存したい場合は、興味深い複雑さを得ることができます。

ましょう$I=\mathcal O\left(\min\left(|A|,|B|,|A\Delta B|\right)\right)$

その後、それぞれ集合演算およびを実行でき予想時間。したがって、本質的には、2つのセットの最小サイズ、または対称差のサイズのいずれか小さい方を取得します。対称差が小さい場合、これは線形よりも優れています。すなわち。大きな交差点がある場合。実際、必要な2つの差集合演算の場合、対称差のサイズを一緒に構成するため、これは実質的に出力に依存します。A Δ B O （私は⋅ ログイン| A | + | B $A\cup B, A\cap B,A\setminus B$$A\Delta B$$\mathcal O\left(I\cdot\log\frac{|A|+|B|}{I}\right)$

詳細については、Olle LiljenzinによるConfluently Persistent Sets and Maps（2013）を参照してください。

セットが並べ替えられたリンクリストとして表されている場合、線形スキャンは、私が行う方法を知っている最高の方法です。実行時間はです。$O(|A| + |B|)$

のすべての要素をすべての要素とペアで比較する必要はないことに注意してください。それは実行時間につながりますが、これはさらに悪いことです。代わりに、これら2つのセットの対称差を計算するために、mergesortの「マージ」操作に似た手法を使用して、両方のセットに共通する値を省略するように適切に変更できます。$A$$B$$O(|A| \times |B|)$

より詳細には、次のような再帰アルゴリズムを構築して、とが値がソートされたリンクリストとして表されると仮定して、を計算できます。$A \setminus B$$A$$B$

difference(A, B):
    if len(B)=0:
        return A # return the leftover list
    if len(A)=0:
        return B # return the leftover list
    if A[0] < B[0]:
        return [A[0]] + difference(A[1:], B)
    elsif A[0] = B[0]:
        return difference(A[1:], B[1:])  # omit the common element
    else:
        return [B[0]] + difference(A, B[1:])

これを擬似Pythonで表現しました。あなたは、Pythonを読んでいない場合は、A[0]リンクリストの先頭でA、A[1:]リストの残りの部分で、+リストの連結を表します。効率上の理由から、Pythonで作業している場合、おそらく上記のように正確に実装することは望ましくありません（たとえば、多くの一時リストを作成しないようにジェネレーターを使用した方がよい場合があります）アイデアを可能な限りシンプルな形で示します。この擬似コードの目的は、具体的な実装を提案することではなく、アルゴリズムを説明することだけです。

セットが並べ替えられたリストとして表され、出力が並べ替えられたリストとして提供されるようにしたい場合、これ以上良いことはできないと思います。基本的に、とすべての要素を調べる必要があります。正当化の非公式スケッチ：あなたはそれが両方に存在している知っている場合は、要素を見て省略することができる唯一のケースがあるので、あなたは、あなたがそれを出力することはできませんが、見ていないことをすべての要素がある場合にはと、しかし、その値を見ていなかった場合、どうしてそれが存在することを知ることができますか？$A$$B$$A$$B$

AとBのサイズが等しく、互いに素でインターリーブされている場合（Aの奇数とBの偶数など）、線形時間でのアイテムのペアワイズ比較はおそらく最適です。

AとBにAまたはBのどちらか、または両方にあるアイテムのブロックが含まれている場合、サブ線形時間でセットの差、結合、および交差を計算することができます。例として、AとBが正確に1つのアイテムで異なる場合、その差はO（log n）で計算できます。

http://arxiv.org/abs/1301.3388

$n$$A-B$$a \wedge \overline b$$a,b$