フィンガープリントを証明する

しましょう $a \neq b$ 間隔からの2つの整数してみましょうランダムプライム可能ことを証明し $[1, 2^n].$ $p$ $1 \le p \le n^c.$

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1}) .

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1}).$

ヒント：素数定理の結果として、正確に $n/ \ln(n) \pm o(n/\ln(n))$ からの多くの数は素数です。 $\{ 1, \ldots, n \}$

結論： $n$ ビットを $O(\log(n))$ ビットに圧縮して、非常に小さな偽陽性率を得ることができ。

私の質問は、

{Pr}_{p \in P r i m e s} {a \equiv b (\mod p)} \leq c \ln (n) / (n^{c - 1})

$\text{Pr}_{p \in \mathsf{Primes}}\{a \equiv b \pmod{p}\} \le c \ln(n)/(n^{c-1})$ ？

— ユーザー1374864
ソース

難しさは数学の部分にあるように見えるので、この問題は数学のほうが慣れていると思います。しかし、圧縮への適用を考えると、ここでも問題は受け入れられると思います。他の場所の方が適しているため、質問を移行することもできます。または、ここで質問され、トピックから強く外れていないため、ここに質問を残すこともできます。

— Gilles「SO-邪悪なことをやめなさい」

これは数学にクロスポストされています。

— カヴェ

確率との間に一様に選択されたランダムプライムそのとを満たす満たすことがこの範囲の素数の数であり、の総数で割りましたこの範囲の素数。書き込み場合真であり、場合偽であり、以下の素数の数の： $P$ $1$ $n^c$ $a \equiv b \mod{p}$ $a \equiv b \mod{p}$ $[C] = 1$ $C$ $[C] = 0$ $C$ $\pi(x)$ $x$

P = \frac{\sum_{p \leq n^{c}} [p prime] [p ∣ (a - b)]}{π (n^{c})}

$P = \dfrac{\sum\limits_{p\le n^c} [p\text{ prime}] [p \mid (a-b)]}{\pi(n^c)}$

以降、を除算する最大異なる素数があります。素数の定理は、分母の上限を直接与えます。したがって： $|a-b| \le 2^n$ $n$ $a-b$

P \leq \frac{n}{n^{c} / \ln (n^{c}) + o (n^{c} / \ln (n^{c}))} = \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}} (1 + o (1))

$P \le \dfrac{n}{n^c/\ln(n^c) + o(n^c/\ln(n^c))} = \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}} (1+o(1))$

素数定理の漸近バージョンから正確な境界を取得することはできません。正確な境界は、私が間違っていなければ、です。この範囲を使用すると、場合、 $\pi(x) \gt \dfrac{x}{\ln(x)}$ $x \ge 11$ $n^c \ge 11$

P \leq \frac{c \ln (n)}{n^{c - 1}}

$P \le \dfrac{c \ln(n)}{n^{c-1}}$

アプリケーション：いくつかのランダムな素数を保存するにより（正確に表すにはビットが必要）を圧縮できます。我々が使用している場合の値とは独立して選択された素数は、表現が必要と値を格納するためのビットがすべて選択されたモジュロプライム。各素数での衝突の確率は、最大でです。精度がどのように向上するかを評価するには、さらに分析が必要になります。 $a \le 2^n$ $n$ $a \mod p$ $p_i$ $k$ $a$ $k \, \lceil c\,\log_2(n) \rceil = O(k \log(n))$ $c \ln(n) / n^{c-1} = O(\ln(n)/n^{c-1})$ $k$

— ジル 'SO-邪悪な停止'
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