再帰、スタック、またはキューなしでツリーをたどることができますか？

半年前、私はデータ構造クラスに座っていました。そこでは、再帰、スタック、キューなど（または他の同様のデータ構造）といくつかのポインターを使用せずに誰もがツリーを横断できる場合、教授は追加のクレジットを提供しました。私はその質問に対する明白な答えだと思ったものを思いついたが、それは教授によって最終的に受け入れられた。私は同じ学部の別の教授と一緒に離散数学クラスに座っていました。彼は、再帰、スタック、キューなどなしでツリーを横断することは不可能であり、私の解決策は無効であると主張しました。

それで、それは可能ですか、不可能ですか？なぜですか？

編集：明確化を追加するために、3つの要素（各ノードに保存されたデータと2つの子へのポインター）を持つバイナリツリーにこれを実装しました。私のソリューションは、わずかな変更を加えるだけでn項ツリーに拡張できます。

私のデータ構造の教師は、ツリーの変更に対して何の制約も課していませんでした。実際、彼自身の解決策は、子ポインターを使用してツリーを下に向けることであることがわかりました。私の離散数学教授は、ツリーの突然変異は、ツリーの数学的な定義によるとツリーではなくなったことを意味し、彼の定義は親へのポインタも排除することを言った-これは上記で解決した場合と一致します。

この領域での多くの研究はドームであり、ガベージコレクションのコンテキストでツリーと一般的なリスト構造を「安く」トラバースする方法に動機付けられています。

スレッド化されたバイナリツリーは、ツリー内の後続ノードへのリンクにいくつかのnilポインタが使用されるバイナリツリーの適応表現です。この追加情報を使用して、スタックなしでツリーを走査できます。ただし、スレッドを子ポインターと区別するには、ノードごとに余分なビットが必要です。ウィキペディア：Tree_traversal

私の知る限り、通常の方法（ノードごとの左右のポインター）でポインターを使用して実装されたバイナリツリーは、Morrisに帰属するメソッドでスレッドのメソッドを使用して走査できます。NILポインターは一時的に再利用され、パスをルートに戻します。賢い部分は、トラバーサル中に、元のエッジと一時的なスレッドリンクを区別できることです（ツリー内でサイクルを形成する方法を使用）。

良い部分：追加のデータ構造はありません。悪い部分：わずかに不正行為。スタックは巧妙な方法でツリー内にあります。非常に賢い。

P. MatetiおよびR. Manghirmalani：Morris's Tree Traversal Algorithm Reconsidered DOI：10.1016 / 0167-6423（88）90063-9に、隠されたスタックの証明が示されています。

JM Morris：二分木を簡単かつ安価にたどります。IPL 9（1979）197-200 DOI：10.1016 / 0020-0190（79）90068-1

次に、Lindstromスキャンもあります。このメソッドは、各ノードに関連する3つのポインター（親と2つの子）を「回転」させます。適切な事前注文または事後注文アルゴリズムを実行する場合、ノードごとに追加のビットが必要です。すべてのノードにアクセスしたい場合（3回ですが、どの訪問を実行したかわからない場合）、ビットなしで実行できます。

G. Lindstrom：スタックやタグビットのないリスト構造をスキャンします。IPL 2（1973）47-51。DOI：10.1016 / 0020-0190（73）90012-4

おそらく最も簡単な方法は、ロブソンによる方法です。ここでは、古典的なアルゴリズムに必要なスタックがリーフに通されています。

JM Robson：補助スタックIPL 1（1973）149-152なしで二分木を横断するための改善されたアルゴリズム。10.1016 / 0020-0190（73）90018-5

IPL =情報処理レター

各ノードには、その親（ルートでない限り）と最初の子（ある場合）へのポインターがあり、その子にはその次の兄弟（ある場合）へのポインターがあると思います。これで、お気に入りの走査順序をシミュレートできます。次のノードを選択するルールを考える必要があります。たとえば、ポストオーダーをシミュレートするとします。最初のノードは「一番左の子孫」です。これは、ルートから開始し、最初の子に繰り返し移動することで取得できます。ここで、ノードいると仮定します。次の兄弟がいる場合、その兄弟の左端の子孫を出力します。次の兄弟がいない場合は、親を出力します。親がいない場合は完了です。$v$

私の解決策は、ネストされたforループを使用してツリーをブルートフォースする、ブリストスファーストのトラバースです。これは決して効率的ではなく、実際、ツリーのような再帰的なデータ構造は再帰的なトラバースを求めていますが、問題はツリーを効率的にトラバースできるかどうかではなく、それが可能かどうかでした。

Pseudocode:
root = pointer root 
depth = integer 0
finished = bool false
//If we n-ary tree also track how many children have been found 
//on the node with the most children for the purposes of this psuedocode 
//we'll assume a binary tree and insert a magic number of 2 so that we 
//can use bitwise operators instead of integer division 
while(!finished)
    ++depth
    treePosition = pointer root
    finished = true;
    for i := 0..2**depth
        for j := 0..depth
            if (i & j) //bitwise operator explained below
                // if right child doesn't exist break the loop
                treePosition = treePosition.rightChild
            else
                // if left child doesn't exist break the loop
                treePosition = treePosition.leftChild
        if j has any children
            finished = false
            do anything else you want when visiting the node

ご覧のように、最初のいくつかのレベルでは次のようになります。擬似コードのビット演算子は、単純にバイナリツリーの左または右のターンを決定します。

2**1       0               1
2**2   00      01      10      11
2**3 000 001 010 011 100 101 110 111

n-aryの場合、i％（maxChildren ** j）/ jを使用して、0〜maxChildrenの間でどのパスを取るかを決定します。

n-aryの各ノードで、子の数がmaxChildrenより大きいかどうかを確認し、適切に更新する必要もあります。