KMPプレフィックス関数と文字列照合オートマトンの間の接続

LET文字列照合オートマトンパターンのための、あります$A_P = (Q,\Sigma,\delta,0,\{m\})$$P \in \Sigma^m$

• $Q = \{0,1,\dots,m\}$
• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a)$ for all and a \ in \ Sigma$q\in Q$$a\in \Sigma$

$\sigma_P(w)$の最長プレフィックスの長さ$P$の接尾辞である$w$であり、

$\qquad \displaystyle \sigma_P(w) = \max \left\{k \in \mathbb{N}_0 \mid P_{0,k} \sqsupset w \right\}$。

さて、聞かせて\パイプレフィックス機能からクヌース-モリス-プラット法であるが、$\pi$

$\qquad \displaystyle \pi_P(q)= \max \{k \mid k < q \wedge P_{0,k} \sqsupset P_{0,q}\}$。

$\pi_P$、\ pi_Pを使用して$\delta$すばやく計算できます。中心的な観測は次のとおりです。

上記の概念と\ in \ Sigmaを想定し$a \in \Sigma$ます。ため$q \in \{0,\dots,m\}$と$q = m$又は$P_{q+1} \neq a$は、その保持します

$\qquad \displaystyle \delta(q,a) = \delta(\pi_P(q),a)$

しかし、どうすればこれを証明できますか？

参考までに、これは\ pi_Pの計算方法です$\pi_P$。

m ← length[P ]
π[0] ← 0
k ← 0
for q ← 1 to m − 1 do
  while k > 0 and P [k + 1] =6 P [q] do
    k ← π[k]
    if P [k + 1] = P [q] then
       k ← k + 1
    end if
    π[q] ← k
 end while
end for

return π

まず第一に、定義により

• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a) =: s_1$および
• $\delta(\pi_P(q),a) = \sigma_P(P_{0,\pi_P(q)}\cdot a) =: s_2$。

スケッチのとを調べてみましょう：$s_1$$s_2$

^{[ ソース ]}

ここでと仮定します。これは、の最大の選択と直接矛盾します。我々は仮定した場合我々がいるという事実と矛盾両方と、特に、最大限に選ばれている理由を。どちらの場合も矛盾につながるため、が成立し、qed$s_2 > s_1$$s_1$$s_1 > s_2$ $s_2$$\pi_P(q)$$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$s_1=s_2$

要求に応じて、より精巧なバージョンの証明：

次に、を表示する必要があります。これは、反対が矛盾につながることを示すことによって行います。$s_1=s_2$

• と仮定します。なお、ためとの定義により。したがって、 -のプレフィックスとのサフィックス -は長いよりの定義である、の最長プレフィックスこれはサフィックスです。これは矛盾です。$s_2 > s_1$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,\pi_P(q)}\cdot a$$P_{0,\pi_P(q)} \sqsupset P_{0,q}$$s_2$$P_{0,s_2}$$P$ $P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_1}$$s_1$$P$$P_{0,q}\cdot a$

他のケースを続ける前に、見てみましょう。そのため観察、我々は。仮定すると、すぐの最大の選択反する（セットであるから選択されます）。$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$P_{0,s_1} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s-1} \sqsupset P_{0,q}$$\pi_P(q) < s_1 - 1$$\pi_P(q)$$s_1 - 1$$\pi_P(q)$

• と仮定します。私達はちょうど示した、およびを覚えておいてください。したがって、の矛盾する最大選択（セット内にあるから選択されます）。$s_1 > s_2$$|P_{0,\pi_P(q)}\cdot a| \geq s_1$$P_{0,\pi_P(q)}\cdot a \sqsupset P_{0,q} \cdot a$$s_1 > s_2$$s_2$$s_1$$s_2$

どちらのようも保持することができ、我々はそれを証明している、QED$s_1 > s_2$$s_2 > s_1$$s_1 = s_2$