8パズルの到達可能な状態空間

私は人工知能の研究を始めたばかりで、なぜ8パズルの到達可能な状態空間がか疑問に思っています。/$9!/2$。タイルの順列の数は$9!$しかし、パズルの可能な状態の半分がどの状態でも到達できない理由はすぐには明らかではありません。誰でも詳しく説明できますか？

左側にランダムな構成、右側にゴール状態の参照用の8パズルの画像：

これは、このプレゼンテーションの拡張版です。

状態グラフは、同じサイズの2つの切断されたコンポーネントで構成されているためです。一般性を失うことなく、ターゲット状態はと想定できます。$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

$S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

$N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

$T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

$N$$N_i$$T_{\Box}$

$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

例えば：

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

状態空間は2つの切断された半分に分割されていると結論付けることができます。1つはで、もう1つはです。$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

たとえば、次の2つの状態は接続されていません。

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5