8パズルの到達可能な状態空間


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私は人工知能の研究を始めたばかりで、なぜ8パズルの到達可能な状態空間がか疑問に思っています。/ 29!/2。タイルの順列の数は9!しかし、パズルの可能な状態の半分がどの状態でも到達できない理由はすぐには明らかではありません。誰でも詳しく説明できますか?

左側にランダムな構成、右側にゴール状態の参照用の8パズルの画像:

サンプル8パズル


3
状態グラフは、同じサイズの2つの切断されたコンポーネントで構成されているため(すべての状態の置換反転の総数は2を法とする不変であり、順列反転の総数が奇数で偶数である2つの状態は接続されていません); 十分に説明された例は見つかりませんでしたが、このプレゼンテーションはそれを理解できるように十分に明確である必要があります(「接続解除」に置き換える必要があるタイプミス「接続」を除く)
Vor

@Vorは答えに変わりますか?
Yuval Filmus 2013年

回答:


12

これは、このプレゼンテーションの拡張版です。

状態グラフは、同じサイズの2つの切断されたコンポーネントで構成されているためです。一般性を失うことなく、ターゲット状態はと想定できます。123...15

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

STiTji<jTiTjTi

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

NjTii<jTj

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

T7T6N7=1T10T7,T8,T9,T6N10=4

NNiT

N=i=115Ni+row(T)

N=N7+N8+N9+N10+row(T)=1+1+1+4+4=11

N N

例えば:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

N=N+3 (2 is placed after 3,4,5)1 (empty tile is moved up)=N+2

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

N=N+1 (2 is placed after 3)2 (4,5 are placed after 3)+1 (empty tile is moved down)=N

Nmod2

状態空間は2つの切断された半分に分割されていると結論付けることができます。1つはで、もう1つはです。Nmod=0Nmod2=1

たとえば、次の2つの状態は接続されていません。

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

これは15パズルの場合ですが、結果は8パズルでも一般化できるようです。ありがとう!
Cam
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