手動でFFTを行う方法を示す

2つの多項式$3 + x$と$2x^2 + 2$ます。

FFTがこれら2つの多項式の乗算にどのように役立つかを理解しようとしています。ただし、解決された例は見つかりません。FFTアルゴリズムがこれら2つの多項式をどのように乗算するかを誰かが教えてくれますか。（注：これらの多項式には特別なものはありませんが、従いやすくするためにシンプルにしたかったのです。）

擬似コードでアルゴリズムを見てきましたが、それらのすべてに問題があるようです（入力の内容、未定義の変数を指定しないでください）。そして驚くべきことに、FFTを使用して多項式を乗算する例を、実際に誰が（手で）歩いたのか見つけることができません。

その対応の代わりに、私たちは団結の第四根を使用したと$1,i,-1,-i$のため$x$。また、FFTアルゴリズムでは、周波数の間引きではなく、時間の間引きも使用します。（ビット反転操作もシームレスに適用されます。）

第1の多項式の変換を計算するために、我々は、係数を書き込むことによって開始：

$$3,1,0,0.$$ ザフーリエも係数の変換$3,0$であり、$3,3$、および奇数の係数の$1,0$であります$1,1$。（これは単にある変換、B ↦ +のB 、- B。）したがって第1の多項式の変換は 4 、3 + I 、$a,b \mapsto a+b,a-b$ $$4,3+i,2,3-i.$$ これを用いて得られる$X_{0,2} = E_0 \pm O_0$、$X_{1,3} = E_1 \mp i O_1$。（回転因子の計算から）。

2番目の多項式についても同じことをしましょう。係数は、

$$2,0,2,0.$$ でも係数$2,2$に変換$4,0$、奇数係数$0,0$に変換$0,0$。したがって、第二の多項式の変換は $$4,0,4,0.$$

：私たちは、フーリエ変換は2フーリエ変換点ごとに乗算することにより、製品の多項式の変換を得る

$$16, 0, 8, 0.$$ それは逆フーリエ変換を計算するために残っています。偶数係数$16,8$に逆変換$12,4$、および奇数係数$0,0$逆変換に$0,0$。（逆変換であり$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$）。したがって、製品の多項式の変換された $$6,2,6,2.$$ これは、使用して得られる$X_{0,2} = (E_0 \pm O_0)/2$、$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$。目的の答え $$(3 + x)(2 + 2x^2) = 6+2x+6x^2+2x^3.$$

多項式を定義します。ここでdeg(A) = qおよびdeg(B) = pです。deg(C) = q + p。

この場合、deg(C) = 1 + 2 = 3。

$$A = 3 + x \\ B = 2x^2 + 2 \\ C = A*B = ?$$

係数のブルートフォース乗算により、$O(n^2)$時間でCを簡単に見つけることができます。FFT（および逆FFT）を適用することで、$O(n\log(n))$時間でこれを達成できます。明示的に：

1. AおよびBの係数表現をその値表現に変換します。このプロセスは評価と呼ばれます。このために分割統治（D＆C）を実行するには、$O(n\log(n))$時間かかります。
2. 値表現で多項式を成分ごとに乗算します。これは、C = A * Bの値表現を返します。このテイク$O(n)$時間かかります。
3. 逆FFTを使用してCを反転し、係数表現でCを取得します。このプロセスは補間と呼ばれ、$O(n\log(n))$時間もかかります。

続けて、各多項式を、値がその係数であるベクトルとして表します。我々 2の最小パワー0の最大とパッドベクトル、$n = 2^k, n \geq deg(C)$。したがって、$n = 4$です。2のべき乗を選択すると、分割統治アルゴリズムを再帰的に適用する方法が提供されます。

$$\begin{align} &A = 3+x+0x^2+0x^3 \Rightarrow &\vec{a} = [3, 1, 0, 0]\\ &B = 2+0x+2x^+0x^3 \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{align}$$

ましょ$A', B'$をそれぞれ、A及びBの値表現です。FFT（高速フーリエ変換）は線形変換（線形マップ）であり、行列$M$として表現できることに注意してください。かくして

$$A' = M \overrightarrow{a} \\ B' = M \overrightarrow{b}$$

We define $M = M_n(\omega)$ where $\omega$ is complex roots $n^{th}$ complex roots of unity. Notice n = 4, in this example. Also notice that the entry in the $j^{th}$ row and $k^{th}$ column is $\omega_n^{jk}$ . See more about the DFT matrix here

$$M_4(w) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & \omega^1 & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^{4} & ... & ... \\ ... & ... & ... & \omega^{jk} & ...\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}$$

Given the $\omega_4 = 4^{th}$ roots of unity, we have the ordered set equality:

$$\{\omega^{0},\omega^1, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, ... \} = \{1, i, -1, -i, 1, i, ...\}$$

This can be visualized as iterating thru roots of the unit circle in the counter-clockwise direction.

Also, notice the mod n nature, i.e. $\omega^6 = \omega^{6 \mod n} = \omega^{2} = -1$ and $-i = \omega^{3} = \omega^{3+n}$

To complete step 1 (evaluation) we find $A', B'$ by performing

$$A' = M * \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 \omega \\ 3 + \omega^2 \\ 3 + \omega^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \\ B' = M * \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 \omega^2 \\ 2 + 2\omega^4 \\ 2 + 2\omega^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$

This step can be achieved using D&C algorithms (beyond the scope of this answer).

Multiply $A' * B'$ component-wise (step 2)

$$A' * B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = C'\\ $$

Finally, the last step is to represent C' into coefficients. Notice

$$C' = M \vec{c} \\ \Rightarrow M^{-1}C' = M^{-1} M \vec{c} \\ \Rightarrow \vec{c} = M^{-1}C'$$

Notice $M_n^{-1} = \frac{1}{n} M_n(\omega^{-1})$¹ and $\omega^j = -\omega^{n/2 + j}$.

$$M_n^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega^{-1} & \omega^{-2} & \omega^{-3}\\ 1 &\omega^{-2} & \omega^{-4} & \omega^{-6}\\ 1 &\omega^{-3} & \omega^{-6} & \omega^{-9} \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$$

$\omega^{-j}$ can be visualized as iterating thru roots of the unit circle in the clockwise direction.

$$\{\omega^{0},\omega^{-1}, \omega^{-2}, \omega^{-3}, \omega^{-4}, \omega^{-5}, ... \} = \{1, -i, -1, i, 1, -i, ...\}$$

Also, it is true that, given the $n^{th}$ root of unity, the equality $\omega^{-j} = \omega^{n-j}$ holds. (Do you see why?)

Then,

$$\vec{c} = M^{-1}C' = \frac{1}{n} M_n(w^{-1}) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \\ (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2\\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Thus, we get the polynomial

$$C = A * B = 6 + 2x + 6x^2 + 2x^3$$ ¹: Inversion Formula pg 73, Algorithms by Dasgupta et. al. (C) 2006