逆行列の要素が1つだけ必要な場合、高速アルゴリズムはありますか？

私はMathematicaを使って問題を解決しています。逆行列について質問があります。

逆行列の要素が1つだけ必要な場合、逆行列Inverse全体を計算して必要な要素を抽出するのに使用するよりも高速なアルゴリズムはありますか？

Mathematicaでこれを正確に確認したことはありませんが、1つの未知数についてのみ方程式セットを解くことができることはサポートされていると思います。

直接的な方法は、もちろん、逆行列アルゴリズムを実装し、特定の要素が決定されたときにそれらを停止させることです。目標が1つの要素のみを取得することである場合、各アルゴリズムに対してどのような最適化を行うことができるかを確認することはおそらく興味深いでしょう。

しかし、最初の段落によると、1つのアイデアは、行列の逆を方程式系で未知数として表現し、必要な未知数のみを解くことを試みることです（単一の未知数の方程式セットの解法がサポートされているため）。メモリとCPUのパフォーマンスが向上した場合、Mathematicaは方程式全体を実際に解決したのではなく、未知のものだけを決定するために最適化を行ったと言っても安全です。もちろん、逆アルゴリズムを直接使用していないため、パフォーマンスが低下する可能性があります。試してみる場合は、うまくいったかどうかをお知らせください。