Aの補数への削減のマッピング

マッピングの削減について一般的な質問があります。私は関数をいくつかの例に見ました$A_{TM}$

どこ $A_{TM} = \{\langle M, w \rangle : \text{ For } M \text{ is a turing machine which accepts string } w\}$

これは決定不能性を証明するのに最適です。しかし、代わりに認識できないことを証明したいと言います。つまり、与えられた結果を使用したい$A \le_{m} B$、 $A$ 認識できません $B$ 認識できません。

したがって、任意の認識できない言語について $C$ に減らすことができます $\overline{A_{TM}}$ （例として、任意の例の言語で十分です）、どうすれば削減できますか $\overline{A_{TM}} \le_{m} C$？

簡単にするために、単にTMを検討するだけで十分です $\overline{A_{TM}}$。

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明確にするために、 $\overline{A_{TM}} = \{ \langle M, w \rangle : M \text{ is a turing machine which does not accept string } w \}$

とりましょう $L_{\emptyset}=\{ \langle M \rangle \mid L(M) = \emptyset \}$、つまり、単語を受け入れない（言語が空の）すべてのマシン。

今、私たちは削減を示しています $\overline{A_{TM}} \le L_\emptyset$。削減は、入力を取ることによって行われます$(\langle M \rangle,w)$ の $\overline{A_{TM}}$ そしてそれを入力に変換します ${\langle \tilde M \rangle}$ ために $L_\emptyset$ そのような

$$(\langle M \rangle,w) \in \overline{A_{TM}} \quad\text{ iff }\quad \langle \tilde M \rangle \in L_{\emptyset}$$

与えられた $(\langle M \rangle,w)$ 私たちは構築することができます $\tilde M$ 次のように。 $\tilde M$ 入力時に、yは次のことを行います。

1. テープを削除します
2. 書き込み $w$ テープに
3. 走る $M$ オン $w$、そして同じことを実行します（もし $M$ 受け入れる、 $\tilde M$ も受け入れます）。

自分自身のコーディングを構築することが可能であると納得させる $\tilde M$ のコーディングから $M$ そしてから $w$。次に、この削減が有効であることを確認します。

• もし $(\langle M \rangle,w) \in \overline{A_{TM}}$ その後 $M$拒否するか、停止しません。もしそうなら、それから$\tilde M$ 受け入れない $y$、任意の入力 $y$。これの意味は$L(\tilde M) = \emptyset$ したがって $\langle \tilde M \rangle \in L_{\emptyset}$。
• もし $(\langle M \rangle,w) \notin \overline{A_{TM}}$ その後 $M$ 受け入れる $w$したがって、 $\tilde M$ 受け入れる $y$ （すべてのための $y$）。その結果、$L(\tilde M)=\Sigma^*$ それはそれが意味する $\langle \tilde M \rangle \notin L_{\emptyset}$。

「iff」条件が成立し、入力のマッピングに成功しました $\overline{A_{TM}}$ の入力に $L_\emptyset$。この場合、削減したと言います$\overline{A_{TM}}$ に $L_\emptyset$。つまり、私たちが解決できれば$L_\emptyset$、私たちは解決することもできます $\overline{A_{TM}}$ 最初に入力を変換し、次に解くアルゴリズムを実行する $L_\emptyset$ 変換された入力。

表示できない、任意の認識できない言語の場合 $C$、 それ $\overline{A_{TM}} \leq_m C$。もし$\overline{A_{TM}} \leq_m C$ それから特にチューリングの程度 $C$ チューリング次数以上 $\overline{A_{TM}}$、多対1の還元性はチューリングの還元性を意味するため。チューリング度$\overline{A_{TM}}$ です $0'$、チューリング次数と同じ $A_{TM}$。チューリングの程度が比較できないほどの認識できない言語がたくさんあります$0'$ （以上でも以下でもない $0'$）。

Ran G.が与えた例は、 $L_\emptyset$ 特に $m$-に相当 $\overline{A_{TM}}$。ほとんどの「自然な」問題は、互いに比較できる傾向があるという一般的な現象があります$m$-程度。しかし、任意の問題を見ると、これは真実ではありません。