ヒープソートの最悪のケースを見つける

ACM ICPC 2004–2005 Northeastern European contestで問題Hに取り組んでいます。

問題は基本的に、ヒープを構築するためのアルゴリズム（シフトダウン）で最大数の交換を生成する最悪のケースを見つけることです。

• 入力：入力ファイルにはが含まれています（）。$n$$1 \le n \le 50{,}000$
• 出力：ヒープになるように、からまでの異なる整数を含む配列を出力します。これをソートされた配列に変換すると、シフト操作の交換の合計数が最大になります。$n$$1$$n$

入力例：6
対応する出力：6 5 3 2 4 1

そして基本的な出力：

[2, 1]   
[3, 2, 1]   
[4, 3, 1, 2] 
[5, 4, 3, 2, 1] 
[6, 5, 3, 4, 1, 2]

以下のための最悪の場合を考えると、我々はのために最悪のケースを構築することができ、我々が取る次のように私たちは「スワップ・サイクル」を行います。次のように、それを入れて、そして我々はスワップその子の最大要素であるまたは、その子の最大要素と再び交換し、以下同様に要素のヒープを離れるまで、その時点で最後の要素を番目の位置に配置します。$n$$n+1$$n+1$$a[0]$$a[0]$$a[1]$$a[2]$$n$$n+1$

例：の最悪のケースはです。ヒープを作成する6を入れ替えて、その後2で終わり、最後に挿入します：。$n=5$$[5, 4, 3, 2, 1]$$[\textbf{6}, \textbf{5}, 3, \textbf{4}, 1]$$[\textbf{6}, \textbf{5}, 3, \textbf{4}, 1, \textbf{2}]$

上記の方法は帰納法で機能します要素の最悪の結果から始め、逆にシフトダウン操作を実行して、実行する必要があるスワップの数を最大化します（ swaps）。これより多くのスワップを実行することはできないため、最初のextract-min操作の後でスワップの数を最大化します。その後、次のextract-min操作で要素のワーストケースが正確に残ります。これは、スワップの数が実際に最大であることを意味します。$n-1$$\lfloor\log(n)\rfloor$$n-1$

この方法では、得られた結果が異なることに注意してください。

[1]
[2, 1]
[3, 2, 1]
[4, 3, 1, 2]
[5, 4, 1, 3, 2]
[6, 5, 1, 4, 2, 3]
[7, 6, 1, 5, 2, 4, 3]
[8, 7, 1, 6, 2, 4, 3, 5]
[9, 8, 1, 7, 2, 4, 3, 6, 5]
[10, 9, 1, 8, 2, 4, 3, 7, 5 ,6]

ただし、どちらのソリューションも正しいです。

[5, 4, 1, 3, 2]
[2, 4, 1, 3| 5]
[4, 2, 1, 3| 5]
[4, 3, 1, 2| 5]
[2, 3, 1| 4, 5]
[3, 2, 1| 4, 5]

[5, 4, 3, 2, 1]
[1, 4, 3, 2| 5]
[4, 1, 3, 2| 5]
[4, 2, 3, 1| 5]
[1, 2, 3| 4, 5]
[3, 2, 1| 4, 5]

[6, 5, 1, 4, 2, 3]
[3, 5, 1, 4, 2| 6]
[5, 3, 1, 4, 2| 6]
[5, 4, 1, 3, 2| 6]
[2, 4, 1, 3| 5, 6]
[4, 2, 1, 3| 5, 6]
[4, 3, 1, 2| 5, 6]
[2, 3, 1| 4, 5, 6]
[3, 2, 1| 4, 5, 6]

[6, 5, 3, 4, 1, 2]
[2, 5, 3, 4, 1| 6]
[5, 2, 3, 4, 1| 6]
[5, 4, 3, 2, 1| 6]
[1, 4, 3, 2| 5, 6]
[4, 1, 3, 2| 5, 6]
[4, 2, 3, 1| 5, 6]
[1, 2, 3| 4, 5, 6]
[3, 2, 1| 4, 5, 6]