クラスタリング問題の最適な欲張り

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一連の2次元ポイントが与えられますおよび整数。最大の円の半径ができるだけ小さくなるように、すべてのポイントを囲む円のコレクションを見つける必要があります。換言すれば、我々は、設定された見つけなければならないのそのようなコスト関数その中心点 $|P| = n$ $k$ $k$ $n$ $C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$ $k$ は最小化されます。ここで、は入力点と中心点間のユークリッド距離を示します。各ポイントは、頂点を異なるクラスターにグループ化する最も近いクラスター中心に割り当てられます。 $\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$ $D$ $p_i$ $c_j$ $k$

この問題は（離散）クラスタリング問題として知られ、ハードです。完全な集合集合問題からの縮約により、問題に対する近似アルゴリズムが存在する場合、であることが示されます。 $k$ $\text{NP}$ $\text{NP}$ $\rho$ $\rho < 2$ $\text{P} = \text{NP}$

最適な近似アルゴリズムは非常にシンプルで直感的です。一つの第一のピック点任意セットを入れ、それをクラスタ中心の。次に、他のすべてのクラスターセンターから可能な限り離れた次のクラスターセンターを選択します。だから、我々が繰り返しポイントを見つける距離いる最大化に追加される。一度完了です。 $2$ $p \in P$ $C$ $|C| < k$ $j \in P$ $D(j,C)$ $C$ $|C| = k$

最適な欲張りアルゴリズムが時間で実行されることを確認するのは難しくありません。これは疑問を提起します：時間を達成できますか？どれだけ改善できるでしょうか？ $O(nk)$ $o(nk)$

algorithms computational-geometry

— Juho
ソース

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この問題は、最大のボールの半径が最小になるボールでポイントをカバーしたいという形で、幾何学的に見ることができます。 $V$ $k$

は実際に達成するのは非常に簡単ですが、より良くすることができます。Feder and Greene、近似クラスタリングの最適アルゴリズム、1988年は、より巧妙なデータ構造を使用して実行時間を達成し、これが代数決定木モデルで最適であることをさらに示しています。 $O(nk)$ $\Theta(n \log k)$

— ジュホ
ソース

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$o(|V|^2)$

$V$ $S$ $O(|V|)$ $p$ $O(|V|)$ $S$ $O(k |V|)$

— プログラマー
ソース

1

k

$k$

| V |

$|V|$

o

$o$

O

$O$

k^{3}

$k^3$