文脈依存言語が交差および補完の下で閉じられていることをどのように証明しますか？

これは、「オートマトンと形式言語」コースの試験からの質問です。2つの文脈依存言語間の「相対補完」操作も文脈依存言語を生成することを証明または反証するように求められる質問があります。

状況依存のクロージャプロパティWikipedia、およびprinceton.eduから。私はそれらの言語が共通部分と補足部分の下で閉じられていることを知っています。

私はそれらの発言の正式な証拠を見つけることに多くの時間を費やしました。どこで/どのようにして証拠を見つけることができますか？または自分でそれらを証明する方法は？誰かが私を参照に向けることができますか？証明をここに投稿できますか？

最初のクロージャープロパティである交差点下のクロージャーは、状況依存言語に適したモデルを選択した場合のDIYの証明です。線形境界オートマトンを使用してそれらを定義することにより、これらのオートマトンの2つを連続して実行して、交差の受け入れを（非決定的に）テストできます。

第二に、補完の下での閉鎖は難しいです！これは、ImmermanとSzelepcsényiが個別に解決するまで、有名な未解決の問題でした。これは、驚くべき証拠であり、非決定性オートマトンの補完を証明する方法です。この手法は帰納的カウンティングと呼ばれ、複雑性クラスのより大きなファミリーで機能します：NSPACE（$s(n)$）= co-NSPACE（$s(n)$）、ここで、文脈依存は線形非決定論的空間に等しい。