再帰的フィボナッチアルゴリズムの複雑さ

次の再帰フィボナッチアルゴリズムを使用します。

def fib(n):
   if n==0:
      return 0
   elif n==1
      return 1
   return (fib(n-1)+fib(n-2))

fib（5）を見つけるために数値5を入力した場合、これが5を出力することがわかりますが、このアルゴリズムの複雑さをどのように調べることができますか？関連するステップを計算するにはどうすればよいですか？

ほとんどの場合、再帰方程式を使用して再帰アルゴリズムを表現できます。この場合、このアルゴリズムの再帰方程式はです。次に、置換法または展開法（または再帰の解決に使用される他の方法）を使用して、方程式の閉じた形式を見つけることができます。この場合、を取得します。ここで、は黄金比（\ phi = \ frac {（1 + \ sqrt {5}）} {2}）です。T （n ）= Θ （ϕ n）ϕ ϕ = （1 + $T(n) = T(n-1) + T(n-2) + \Theta(1)$$T(n) = \Theta(\phi^n)$$\phi$$\phi = \frac{(1 + \sqrt{5})}{2}$

再発を解決する方法についてさらに知りたい場合は、アルゴリズムの概要の第4章を読むことを強くお勧めします。

繰り返しの関係/数学分析の代替として（しかし代替ではない）、クラスではあまり頻繁に教えられていないが非常に有益な単純な経験的演習は、関数の実行回数をカウントし、範囲のカウントをグラフ化することですn個の小さな入力から、結果を曲線近似します。結果は、一般的に理論的な数学アプローチとほぼ一致します。

この演習の優れたサポート資料は、無料のオンラインの第3章、アルゴリズムの実行時間 / コンピューターサイエンスの基礎、ウルマンにあります。

fib（n）の結果は、1を返したすべての再帰呼び出しの合計です。したがって、fib（1）を評価するfib（n）再帰呼び出しが正確にあります。したがって、実行時間はΩ（fib（n））です。0を返す呼び出しと他の再帰呼び出しがこれに大きく追加しないことを示す必要があります。

同じ推論は、1、0、または別の再帰呼び出しの結果を返す再帰的に定義された関数にも適用されます。

下限直感的である： ので、 よって$T(n)=T(n-1)+T(n-2)$ $T(n)>2T(n-2)$$T(n-1)>T(n-2)$$T(n)= \Omega(c^{n})$