GCDにとって最も効率的なものは何ですか？

ユークリッドのアルゴリズムは、正の整数のリストのGCD（最大公約数）を取得するための最適なアルゴリズムであることを知っています。しかし実際には、このアルゴリズムをさまざまな方法でコーディングできます。（私の場合、Javaを使用することにしましたが、C / C ++が別のオプションである可能性があります）。

プログラムで可能な限り最も効率的なコードを使用する必要があります。

再帰モードでは、次のように記述できます。

static long gcd (long a, long b){
    a = Math.abs(a); b = Math.abs(b);
    return (b==0) ? a : gcd(b, a%b);
  }

反復モードでは、次のようになります。

static long gcd (long a, long b) {
  long r, i;
  while(b!=0){
    r = a % b;
    a = b;
    b = r;
  }
  return a;
}

GCD用のバイナリアルゴリズムもあります。これは、次のように簡単にコーディングできます。

int gcd (int a, int b)
{
    while(b) b ^= a ^= b ^= a %= b;
    return a;
}

2つのアルゴリズムは同等です（少なくとも正の整数の場合、命令型バージョンで負の整数で何が起こるかは、Javaのセマンティクスに依存します%）。再帰的なバージョンでは、聞かせてI及びbはiは引数であるI番目の再帰呼び出し： I + 1 = B I B iが+ 1 = I M O D B I$a_i$$b_i$$i$

命令型ではおよびb ' iを変数の値とし、ループのi番目の反復の開始時とします。 a ′ i + 1 = b ′ i b ′ i + 1 = a ′ i m o d b ′ $a'_i$$b'_i$ab$i$

類似点に注意してください？命令型と再帰型はまったく同じ値を計算しています。さらに、それらは両方とも（それぞれa ' i = 0）のときに同時に終了するため、同じ回数の反復を実行します。アルゴリズム的に言えば、2つの間に違いはありません。違いは実装の問題であり、コンパイラ、実行するハードウェア、およびオペレーティングシステムと他のプログラムが同時に実行しているものに大きく依存します。$a_i=0$$a'_i=0$

再帰バージョンは末尾再帰呼び出しのみを行います。命令型言語のほとんどのコンパイラはこれらを最適化しないため、生成するコードは各反復でスタックフレームを構築するために少しの時間とメモリを浪費する可能性があります。末尾呼び出しを最適化するコンパイラー（関数型言語のコンパイラーはほとんどの場合実行します）では、生成されたマシンコードは両方で同じになる可能性があります（これらの呼び出しを調和させると仮定abs）

数値が小さい場合、バイナリGCDアルゴリズムで十分です。

十分に管理され、実際にテストされたライブラリであるGMPは、特別なしきい値、Lehmerのアルゴリズムの一般化を通過した後、特別なハーフGCDアルゴリズムに切り替わります。Lehmer'sは、行列乗算を使用して、標準のユークリッドアルゴリズムを改善します。ドキュメントによると、HGCDとGCDの両方の漸近的実行時間はO(M(N)*log(N))であり、ここでM(N)2つのNリム数を乗算する時間です。

それらのアルゴリズムの完全な詳細はここで見つけることができます。

私が知っているように、Javaは一般に末尾再帰の最適化をサポートしていませんが、Java実装をテストできます。サポートされていない場合は、単純なfor-loopがより高速になり、そうでない場合は再帰が同様に高速になります。一方、これらはビット最適化であり、より簡単で読みやすいと思うコードを選択してください。

また、最速のGCDアルゴリズムはユークリッドのアルゴリズムではなく、レーマーのアルゴリズムは少し高速であることに注意してください。

まず、タイトなループを置き換えるために再帰を使用しないでください。遅いです。最適化のためにコンパイラに依存しないでください。次に、コードでは、再帰呼び出しごとにMath.abs（）を呼び出しますが、これは役に立ちません。

ループでは、一時変数を簡単に回避し、aとbを常に交換できます。

int gcd(int a, int b){
    if( a<0 ) a = -a;
    if( b<0 ) b = -b;
    while( b!=0 ){
        a %= b;
        if( a==0 ) return b;
        b %= a;
    }
    return a;
}

a ^ = b ^ = a ^ = bを使用してスワップすると、ソースが短くなりますが、実行するのに多くの命令が必要になります。一時変数を使用した退屈なスワップよりも遅くなります。

以下のために小さな数字、％は、おそらく単純な再帰的な、非常に高価な操作です

GCD[a,b] := Which[ 
   a==b , Return[a],
   b > a, Return[ GCD[a, b-a]],
   a > b, Return[ GCD[b, a-b]]
];

速いですか？（申し訳ありませんが、C ++ではなくMathematicaコード）

ユークリッドアルゴリズムは、GCDの計算に最も効率的です。

静的long gcd（long a、long b）
{
if（b == 0）
を返します;
他に
return gcd（、a％b）;
}

例：-

A = 16、B = 10とする。
GCD（16、10）= GCD（10、16％10）= GCD（10、6）
GCD（10、6）= GCD（6、10％6）= GCD（6、4）
GCD（6、4）= GCD（4、6％4）= GCD（4、2）
GCD（4、2）= GCD（2、4％2）= GCD（2、0）


B = 0なので、GCD（2、0）は2を返します。