漸化式の漸近近似（Akra-Bazziは適用されないようです）

アルゴリズムに実行時の反復関係があるとします。

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

ある定数。が多項式、おそらく2次式であると仮定します。ほとんどの場合、はで指数関数になります。 $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

ランタイムを分析するにはどうすればよいでしょうか（はすばらしいでしょう）？マスター定理と、より一般的なAkra-Bazziメソッドは適用されないようです。 $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— オースティンブキャナン
ソース

適切な下限を見つけることは簡単ですが、適切な上限を見つけることは困難ですが、大まかに言えば近いようです。

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

まだ答えを探している場合は、Graham、Knuth、およびPatashnikの「Concrete Mathematics」を確認してください。

— Kaveh 2013年

が一定であると仮定すると、に関する仮定は必要ありませんか、それとも必要ですか？

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— ラファエル

パラメータはインスタンス固有である場合があります。ランタイムがどのように依存するかを確認するとよいでしょう。

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— オースティンブキャナン

私は尋ね関連する質問、これまでのところ、この種の再発のために前後の任意の一般的な定理を持っていません。

— ラファエル

考えられるアプローチの1つは、微分方程式の類推によるものです。LET。ここでは 1次導関数の離散アナログです。次の関係が得られます：これの連続的な類似物は、微分方程式または、別の書き方をしたい場合：それは微分方程式です。 $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

これで、連続関数の微分方程式を解いて、類似の関数が元の再帰関係の解になるという仮説を立て、仮説を証明することができます。少なくとも、これはあなたが従うことができる1つの一般的なアプローチです。 $t(x)$

微分方程式について知っていたすべてを忘れてしまったので、その微分方程式の解はわかりませんが、微分方程式を解くためのすべての手法を検討することで解決できるかもしれません。

— DW
ソース

ドナルドJニューマンはこのテクニックを頻繁に使用しており、素晴らしい結果が得られたようです。

— Aryabhata 2013年

もう探す必要はありません。その微分方程式を解くことは簡単ではありません。いくつかの基本的な形を試した後、それが閉じた形の解を持っていると私はあまり確信していません。

t (x)

$t(x)$

— InformedA 2014