微分からのソーベル方程式の導出

多くのサイトでは、画像を平滑化するための畳み込みマスクとしてSobelオペレーターを提供しています。ただし、部分的な1次導関数から演算子を導出する方法を説明するサイトは1つも見つかりませんでした。誰かが派生を説明できれば、私はそれを高く評価します。

image-processing computer-vision

— 泉泉
ソース

ソーベル演算子は、X次元の微分の近似であり、その後にY次元の単純な平滑化演算子が続きます。（またはY次元での微分とXでの平滑化）。

1次元信号考えます。、の導関数はように書くことができます： $f(t)$ $f(t)$ $d f(t) / dt$

\underset{Δ \to 0}{リム} \frac{f （ t + Δ ） - f （ t - Δ ）}{2 Δ}

$\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta) - f(t-\Delta)}{2\Delta}$

これを中央差分式といいます。

しかし、離散信号では、自由に使える最小のはサンプル間の距離なので、それを限界の近似値として使用します。 $\Delta$

複雑な指数信号に対して何を行うかを調べることで、近似がどれほど悪い（または良い）ます。真の導関数はます。近似により、低周波数では非常に正確ですが（は0に近い）、がナイキスト周波数（ $e^{\omega i t}$ $\omega i e^{\omega i t}$

\frac{e^{ω 私 （ t + 1 ）} - e^{ω 私 （ t - 1 ）}}{2} = \frac{e^{ω 私} e^{ω 私 t} - e^{- ω 私} e^{ω 私 t}}{2} = \frac{e^{ω 私} - e^{- ω 私}}{2} e^{ω 私 t} = 私 罪 （ ω ） e^{ω 私 t}

$\frac{e^{\omega i (t+1)} - e^{\omega i (t-1)}}{2} = \frac{e^{\omega i}e^{\omega i t}-e^{-\omega i}e^{\omega i t}}{2} = \frac{e^{\omega i} - e^{-\omega i}}{2}e^{\omega i t} = i \sin(\omega)e^{\omega i t}$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

ω \to π

$\omega \rightarrow \pi$ ）。これは、3つのサンプルで実行するのに最適です。また、過度に増幅するのではなく、高周波応答を過度に減衰させるという利点もあります。

次に、Y次元の平滑化を行います。3点のみを使用するものが必要であり、得られる最高のものは。このフィルターには周波数応答があります：これは、通過する低周波から完全に減衰する高周波にスムーズに移行します。 $\frac{1}{4}f(t-\Delta) + \frac{1}{2}f(t) + \frac{1}{4}f(t+\Delta)$

\frac{1}{4} e^{ω 私 （ t - Δ ）} + \frac{1}{2} e^{ω 私 t} + \frac{1}{4} e^{ω 私 （ t + Δ ）} = \frac{1}{2} （ 1 + \frac{e^{- ω 私 Δ} + e^{ω 私 Δ}}{2} ） e^{ω 私 t} = \frac{1}{2} （ 1 + \cos ω ） e^{ω 私 t}

$\frac{1}{4}e^{\omega i (t - \Delta)} + \frac{1}{2}e^{\omega i t} + \frac{1}{4}e^{\omega i (t + \Delta)} = \frac{1}{2}(1 + \frac{e^{-\omega i \Delta}+e^{\omega i \Delta}}{2})e^{\omega i t} = \frac{1}{2}(1 + \cos \omega)e^{\omega i t}$

したがって、X次元の微分近似をY次元の平滑化でたたみ込み、カーネルを取得します。

\frac{1}{8} [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] 。

$\frac{1}{8} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right].$

— さまようロジック
ソース