移動するターゲットを追跡するアルゴリズム

クエリとリセットが可能なブラックボックス $f$ あるとします。我々がリセットすると $f$ 、状態 $f_S$ の $f$ 集合から一様にランダムに選択された要素に設定されている

{0, 1, . . ., n - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$ ここで、は固定され、指定された既知です。を照会するには、要素（推測）が提供され、返される値はです。また、状態

の

n

$n$

f

$f$

f

$f$

x

$x$

{0, 1, . . ., n - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$

(f_{S} - x) \mod n

$(f_S - x) \mod n$

f_{S}

$f_S$

f

$f$ は値

f_{S}^{'} = f_{S} \pm k

$f_S' = f_S \pm k$ に設定されます。ここで、

k

$k$ は

からランダムに選択され

{0, 1, 2, . . ., ⌊ n / 2 ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n)}

$\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

各クエリで一様にランダムな推測を行うことにより、分散（証明なしで記述）で取得する前に $n$ 推測する必要があります。 $f_S = x$ $n^2 - n$

アルゴリズムは、より良い結果を出すように設計できますか（つまり、推測数を少なくし、おそらく推測数のばらつきを小さくします）。それはどれほど良くできましたか（つまり、最適なアルゴリズムとは何ですか？そのパフォーマンスはどうですか？）

この問題の効率的な解決策は、暗い部屋でウサギを（円形のトラックでホッピングするように制限されている）で撮影するための重要なコスト節約の意味を持ちます。

algorithms probability-theory randomized-algorithms

— パトリック87
ソース

ウサギを撃つことがコンピューターサイエンスかどうかはわかりません。

— デイブクラーク

@DaveClarkeしかし、ウサギを撃つことができれば、ウサギの止まる問題を解決できました。

— Patrick87

@DaveClarkeどちらも衛星を宇宙に発射していませんが、衛星の位置の計算はそうです。この質問は、暗号解読とまったく異なりません。

— ジル 'SO-悪である停止

まず第一に、

さらに、の状態は値に設定されます。ここで、は $f_S$ $f$ $f_S' = f_S \pm k$ $k$
${0, 1, 2, . . ., ⌊ n / 2 ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n)}$ $\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

あなたは実際に意味する

さらに、の状態は値に設定されます。ここで、はからランダムに一様に選択されます $f_S$ $f$ $f_S' = f_S + k \mod n$ $k$
${- | ⌊ \frac{n}{2} ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n) |, \dots, - 1, 0, 1, 2, \dots, | ⌊ \frac{n}{2} ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n) |}$ $\left\{- \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|, \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|\right\}$

それ以外の場合、常に成り立ち、が正確にどのように動作するかは完全には明らかではありません。 $f_S \in \{ 0, ..., n-1\}$ $f_S \pm k$

これを使用すると、問題は基本的に「可能な限り不足する」ことになります。ウサギを近くに撃つと、ウサギが大きくなることに注意してください。極端な場合、ます。これにより、と間のホップが均一になり、基本的にウサギの位置が再び完全にランダム化されます。一方、私たちはできるだけひどく欠場-のオフセットにより、ウサギは実際にはまったく動かない（！）とブラックボックスは、実際に私たちを更新この事実について。したがって、私たちはただ向きを変えてウサギを撃つことができます。 $f_S - x = \pm 1 \mod n$ $-(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $f_S - x \mod n = \lfloor n/2 \rfloor$

各ショットでますます欠落する手順を見つけることができます。簡単な「バイナリ検索」を提案します。（便宜上、丸めを省略します。）おおよそ次のように進みます。

ブラックボックスから答えが得られるまで、任意の位置でリセットし、撃ちますこれには一定の手順が必要です。 $(f_S - x \mod n) \in \{ \frac{1}{4}n, ..., \frac{3}{4}n\}.$
これで、ウサギの過去の位置、およびどちらの方向にもステップ以上移動しなかったことがます。ウサギは位置にいる必要があるため、これは基本的に次の反復で検索スペースを半分にします $f_S$ $\frac{1}{4}n$ $f_S' \in \{ (f_S - \frac{1}{4}n) \mod n, ..., f_S, ..., (f_S + \frac{1}{4}n) \mod n \}$
再帰：位置撮影します。確率で、ウサギがステップ1＆2でジャンプした位置は、範囲。その場合、検索スペースをもう一度半分にしました。確率では、ウサギはその範囲にジャンプしませんでしたが、、ステップ（2）と同じ仮定があります。したがって、何も失うことはありません。 $f_S - n/2 \mod n$ $1/2$ $f_S'$ $\{ f_S - \frac{1}{8}n, ..., f_S, ..., f_S + \frac{1}{8}n \}$ $1/2$ $f_S' - x \mod n = f_S' - f_S + n/2 \mod n \in \{ \frac{1}{2}n - \frac{1}{4}n, ..., \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}n \}$

各ステップは、成功するために予想時間を必要とし、検索スペースを半分にして、全体の予想ステップ数を生成します。 $2 = \mathcal{O}(1)$ $\mathcal{O}(\log n)$

— HdM
ソース