移動するターゲットを追跡するアルゴリズム


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クエリとリセットが可能なブラックボックスfあるとします。我々がリセットするとf、状態fSf集合から一様にランダムに選択された要素に設定されている

{0,1,...,n1}
ここで、は固定され、指定された既知です。を照会するには、要素(推測)が提供され、返される値はです。また、状態F_SF F X { 0 1 n 1 } f Sx nffx
{0,1,...,n1}
f S f(fSx)modnfSfは値fS=fS±kに設定されます。ここで、k\ {0、1、2、...、\ lfloor n / 2 \ rfloor-((f_S-x)\ modからランダムに選択され
{0,1,2,...,n/2((fSx)modn)}

各クエリで一様にランダムな推測を行うことにより、分散n ^ 2-n(証明なしで記述)でf_S = xを取得する前にn推測する必要があります。fS=xn2n

アルゴリズムは、より良い結果を出すように設計できますか(つまり、推測数を少なくし、おそらく推測数のばらつきを小さくします)。それはどれほど良くできましたか(つまり、最適なアルゴリズムとは何ですか?そのパフォーマンスはどうですか?)

この問題の効率的な解決策は、暗い部屋でウサギを(円形のトラックでホッピングするように制限されている)で撮影するための重要なコスト節約の意味を持ちます。


ウサギを撃つことがコンピューターサイエンスかどうかはわかりません。
デイブクラーク

6
@DaveClarkeしかし、ウサギを撃つことができれば、ウサギの止まる問題を解決できました。
Patrick87

@DaveClarkeどちらも衛星を宇宙に発射していませんが、衛星の位置の計算はそうで​​す。この質問は、暗号解読とまったく異なりません。
ジル 'SO-悪である停止

回答:


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まず第一に、

さらに、の状態は値に設定されます。ここで、は F F ' S = F S ± K K { 0 1 2 N / 2 - ( F S - X fSffS=fS±kk

{0,1,2,...,n/2((fSx)modn)}

あなたは実際に意味する

さらに、の状態は値に設定されます。ここで、はからランダムに一様に選択されます f f S = f S + kfSfk {| n個fS=fS+kmodnk

{|n2((fSx)modn)|,,1,0,1,2,,|n2((fSx)modn)|}

それ以外の場合、常に成り立ち、が正確にどのように動作するかは完全には明らかではありません。f S ± kfS{0n1}fS±k

これを使用すると、問題は基本的に「可能な限り不足する」ことになります。ウサギを近くに撃つと、ウサギが大きくなることに注意してください。極端な場合、ます。これにより、と間のホップが均一になり、基本的にウサギの位置が再び完全にランダム化されます。一方、私たちはできるだけひどく欠場-のオフセットにより、ウサギは実際にはまったく動かない(!)ブラックボックスは、実際に私たちを更新この事実について。したがって、私たちはただ向きを変えてウサギを撃つことができます。fSバツ=±1modn(n/2±1)(n/2±1)fSxmodn=n/2

各ショットでますます欠落する手順を見つけることができます。簡単な「バイナリ検索」を提案します。(便宜上、丸めを省略します。)おおよそ次のように進みます。

  1. ブラックボックスから答えが得られるまで、任意の位置でリセットし、撃ちますこれには一定の手順が必要です。(fSxmodn){14n,...,34n}.
  2. これで、ウサギの過去の位置、およびどちらの方向にもステップ以上移動しなかったことがます。ウサギは位置にいる必要があるため、これは基本的に次の反復で検索スペースを半分にしますfS14nfS{(fS14n)modn,...,fS,...,(fS+14n)modn}
  3. 再帰:位置撮影します。確率で、ウサギがステップ1&2でジャンプした位置は、範囲。その場合、検索スペースをもう一度半分にしました。確率では、ウサギはその範囲にジャンプしませんでしたが、、ステップ(2)と同じ仮定があります。したがって、何も失うことはありません。fSn/2modn1/2fS{fS18n,...,fS,...,fS+18n}1/2fSxmodn=fSfS+n/2modn{12n14n,...,12n+14n}

各ステップは、成功するために予想時間を必要とし、検索スペースを半分にして、全体の予想ステップ数を生成します。2=O(1)O(logn)

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