スコット連続関数：代替定義

私はこのプロパティに本当に苦労しています：

ましょであり、コヒーレンススペースと単調関数です。は、が有向集合であるようなすべての場合にのみ連続です。$X,Y$$f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

したがって、有向集合は次のように定義されます POSET は、などの有向集合でやです。はクリークを表します：コヒーレント。$D \subseteq$$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

多くの本は、スコット連続関数の定義としてそれを与えていますが、残念ながら私の先生ではありません。彼はこの連続的な定義を与えました：

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$は、単調かつ場合、連続です。。 ここで、モノトーンは次のように定義されます は場合モノトーンです。$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

これは私が持っている提案された証明ですが、最後の方程式を理解できません。

証拠連続は意味$f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$：
レットの。連続性の定義により、。はの和集合で あることに注意してください。 もし、その後、直接である：、その後。単調性の定義により、 so（???）。それでさえ、であることを示すだけでなく、$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
$D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$。

他の含意の証明はさらに悪いので、ここでそれを書くことはできません...証明がどのように機能するかを説明してもらえますか？

教師が使用する連続性の定義は、より優れたものです。連続性が何を意味するのかをかなり具体的に示します。

と仮定します。つまり、すべての情報、場合によってはトークン（原子）の無限のセットが与えられると、関数は情報原子部分を持つ要素を生成します。（他の情報もある可能性がありますが、現時点では関係ありません。）教師の定義によると、出力情報を生成するためにの無限の情報をすべて見る必要はありません。有限サブセットはそれを生成するのに十分です。$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

（Melvin Fittingの著書「Computability theory、semantics and logic programming」、オックスフォード、1987年、この特性をコンパクト性と呼び、連続関数を単調でコンパクトであると定義しています。）

これが連続性の本質です。関数の出力に関する有限量の情報を取得するには、入力に関する有限量の情報のみが必要です。無限入力に対して関数によって生成される出力は、無限入力のすべての有限近似に対して生成される情報をつなぎ合わせることによって取得されます。言い換えれば、有限近似から無限結合への魔法のようなジャンプはありません。無限に到達するものは何であれ、あなたはすでに何らかの有限段階に到達するはずです。

標準方程式は見た目がきれいですが、上記で説明した直感をすべて伝えているわけではありません。ただし、数学的には、教師の定義と同等です。$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

ことを示すために、あることを示すのに十分であり、中に含まれるで、各。ただし、でため、単調性から直接続きます。したがって、これは「簡単な」方向です。$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

先生によって証明された他の方向は興味深いものです：。これを確認するには、上記の直観を使用してください。左側のアトミック情報は、入力の有限近似に由来します。つまり、です。以来有限であり、それは有向集合の和集合に含まれ、より大きくなる有向集合で何かがなければならない、おそらく自身を。その要素を呼びます。単調性により、。したがって、$f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$$x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$。以降、。したがって、は右側にも表示されます。QED。F （Z ）⊆ ⋃ のx ∈ D F （X ）$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$

既に述べたように、先生の継続性は、きれいな方程式が簡単なことであることを示しています。難しいことは、きれいな方程式が、あまり言っていないように見えても、本当に先生の定義のすべてを言っていることを示すことです。

私が最後の応答を書いた後、遅刻して、私の応答で説明していた連続性の教師の定義は連続性の位相的概念であると思いました。通常、コンピューターサイエンスの教科書で言及されている連続性の代数的定式化は、すべての位相的直観を隠しています。（実際、コンピューターサイエンティストはそれに精通していないため、ダナスコットはしばしば、トポロジーの定式化を意図的に避けていると書いています。）

代数的定式化とトポロジー的定式化の間の結合は、Stone dualityと呼ばれ、この結合自体がコンピューターサイエンスにとって非常に重要であることが次第に明らかになってきています。

これらの接続の概念的な説明（およびそれ以上）については、アブラムスキーの情報、プロセス、およびゲームを参照してください。