MST：Primのアルゴリズムの複雑さ、なぜ

CLRSによると、プリムのアルゴリズムは以下のように実装されています-

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• 毎$u \in V[G]$を行います
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• 一方、 // ... O $Q \ne \emptyset$$O(V)$
  • ← EXTRACT-MIN（u ） // ... O （$u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$$O(\lg V)$
    
    • それぞれの //ん... O （E $v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$$O(E)$
      
      • もしとW （U 、V ）> キー [ V $v \in Q$$w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • 次に$\pi[v] \leftarrow u$
          • // DECREASE-KEY ... O （lg V $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$$\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$$O(\lg V)$

この本は、総複雑さがあると言う。ただし、私が理解したことは、演算を伴う内部ループはO （E lg V ）を要し、外部ループはと内部ループの両方を囲むため、全体の複雑度はO （V （lg V + E lg V lg V + E $O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$forDECREASE-KEY$O(E \lg V)$whileEXTRACT-MINfor。$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$

なぜ複雑性分析はそのように実行されないのですか？そして私の処方の何が問題になっていますか？

複雑さは次のように導出されます。初期化フェーズの費用は$O(V)$です。$while$ループが実行され$\left| V \right|$回。$for$内に入れ子ループ$while$ループが実行される$degree(u)$回。最後に、ハンドシェイクレンマは、$\Theta(E)$暗黙のDECREASE-KEY があることを意味します。そのため、複雑さがあります：$\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$。

実際の複雑さは、アルゴリズムで実際に使用されるデータ構造によって異なります。配列$T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$、複雑度は$O(V^2)$で最悪の場合。

バイナリヒープを使用して、$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$、複雑さは$O(E \log V)$最悪の場合。理由は次のとおりです。グラフが接続されているため、$\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$、$E$は最大で$V^2$（最悪の場合、密なグラフの場合）。おそらく、あなたはこの点を逃しました。

フィボナッチヒープを使用すると、 $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$償却され、$T_{DECREASE-KEY} = O(1)$償却され、複雑度は$O(E + V \log V)$最悪の場合。

あなたの考えは正しいようです。複雑度をましょう 。次に、内側のforループでは、実際にはエッジではなくすべての頂点を通過することに注意してください。V （lg v + V lg v ）に少し変更し ます。これは、V lg v + V 2 lg vを意味し ます。しかし、最悪の場合の分析（密なグラフ）では、V 2はエッジの数Eにほぼ等しく、 V lg v $V(\lg v + E\lg v)$$V(\lg v + V\lg v)$$V\lg v + V^2\lg v$$V^2$$E$$V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$$V \ll E$$E\lg v$