決定不能な問題の削減

この質問に私が見逃しているいくつかの些細な答えがある場合は申し訳ありません。決定不可能であることが証明された問題を研究するときはいつでも、証明は決定不可能であることが証明された別の問題への還元に依存していることがわかります。問題の難易度について、ある種の秩序が生まれることを理解しています。しかし、私の質問は-決定不可能なすべての問題が、決定不可能な別の問題に還元できることが証明されているかどうかです。他の決定不可能な問題への還元がないことを証明できる決定不可能な問題が存在することは不可能ではありませんか（そのような問題の決定不可能なことを証明するために、還元は使用できません）。縮約を使用して計算可能性の程度に関する次数を作成する場合、この問題にそのような程度を割り当てることはできません。

computability reductions undecidability

— swarnim_narayan
ソース

短い答え：ささいなことからはほど遠い！算術階層を見てください。

— Hendrik Jan

これについてどのようなこと：場合は決定不能言語であり、で最小の要素である

。次に、

は

還元可能です（逆も同様）。加えて、あなたがに要素を追加した場合

（最小の要素言わないで

）、あなたは1-1-削減を持っています。

L

$L$

x min L

$x \min L$

L

$L$

L^{'} = L ∖ {x}

$L' = L \setminus \{x\}$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L

$L$

— –PålGD 2013

Hendrik Janが述べたように、実際には決定不能の程度は異なります。たとえば、チューリングマシンがすべての入力で停止するかどうかを決定する問題は、次の意味で、停止の問題よりも困難です。。

このような関係を示すために使用される1つの重要な手法は、対角化です。対角化を使用すると、問題与えられると、常により難しい問題、つまり、 oracleにアクセスできるチューリングマシンの停止問題を見つけることができます。新しい問題は、次の意味でより困難ですへのオラクルアクセス権を持つチューリングマシンは解決できません。その意味で、「最も難しい」問題はありません。 $P$ $P$ $P'$ $P$ $P'$

— ユヴァルフィルムス
ソース

答えてくれてありがとう。あなたの言っていることが理解できました。「難しい」問題から「より難しい」問題を構築できます。しかし、これらの困難な問題の構築スキーム（たとえば、対角化はあなたが述べたようなスキームの1つである）は、必ず「すべての」存在する決定不可能な問題を網羅します（つまり、すべての決定不可能な問題のセットの構築が保証されます）。一部が建設中に取り除かれ、他の決定不能なものから構築できない可能性はありませんか？

— swarnim_narayan 2013

それどころか、定義可能な問題は数え切れないほど多く、全体で数え切れないほど多くの問題があるため、ほとんどの問題は除外されることはわかっています。より具体的には、「本当に難しい」問題を定義する方法を尋ねます。これは、大きな枢機卿の再帰理論的類似物です。それがあなたが興味を持っていることなら、この側面に焦点を当てた新しい質問をしてください。

— Yuval Filmus 2013

再帰的な高速成長関数の階層を構築するときにも同様の問題が発生します。この場合、ある意味で、完全で包括的な階層を構築する方法がないことがわかっています。

— Yuval Filmus