SATソルバーの1-out-of-n制約のエンコード

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私はSATソルバーを使用して問題をエンコードしていますが、SATインスタンスの一部として、ブール変数があります。。（私はこれを「ワンホット」エンコーディングとして記述されるのを見たことがあります。） $x_1,x_2,\dots,x_n$

SATで「うち正確に1つでなければならない」という制約をエンコードしたい。SATソルバーを可能な限り効率的に実行するために、この制約をエンコードする最良の方法は何ですか？ $x_1,\dots,x_n$

この制約をエンコードする方法はたくさんあります。

ペアごとの制約。すべてのに対してペアワイズ制約を追加して、最大で1つのが真であることを確認してから、を追加して、少なくとも1ことを確認できます。 $\neg x_i \lor \neg x_j$ $i,j$ $x_i$ $x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_n$

これにより、句が追加され、追加のブール変数は追加されません。 $\Theta(n^2)$
バイナリエンコーディング。新しいブール変数導入できます $\lg n$ $i_1,i_2,\dots,i_{\lg n}$ （バイナリ）の整数で表すためにそのようなその（ことを確実にするために、いくつかのブール制約の追加望ましい範囲内にあります）。次に、がツリーであり、他のすべてのがfalseであることを強制する制約を追加できます。つまり、ごとに、強制する句を追加します。 $i$ $1 \le i \le n$ $i$ $x_i$ $x_j$ $j$ $i=j \Leftrightarrow x_j$

これにより、句が追加され、余分なブール変数の数がわかりません。 $\Theta(n \lg n)$
真の値の数を数えます。 ブール加算回路のツリーを実装し、を要求し、各をfalseまたはtrueではなく0または1として扱い、Tseitin変換を使用して回路をSAT句に変換します。半加算器のツリーで十分です。各半加算器のキャリー出力を0に制限し、ツリーの最後の半加算器の最終出力を1に制限します。ツリーは任意の形状（平衡二分木、または不平衡、または何でも）。 $x_1+x_2+\dots+x_n=1$ $x_i$

これはゲートで実行できるため、句と新しいブール変数が追加されます。 $\Theta(n)$ $\Theta(n)$ $\Theta(n)$

この方法の特別な場合は、ブール変数を導入することであるという考えと、の値含まれている必要があり。この意図は、句を追加することによって実施することができ、、及び $y_1,\dots,y_n$ $y_i$ $x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_i$ $y_i \lor \neg x_i$ $y_i \lor \neg y_{i-1}$ （をfalseの同義語として扱う）。次に、我々は制限を追加することができますのために。これは基本的に、半加算ツリーのTseitin変換と同等であり、ツリーの形状は最大限に不均衡です。 $\neg y_i \lor x_i \lor y_{i-1}$ $y_0$ $i=1,\dots,n$ $\neg y_i \lor \neg x_{i+1}$ $i=1,2,\dots,n-1$
バタフライネットワーク。ビットでバタフライネットワークを構築し、ビット入力をに制約し、ビット出力をに制約し、各2ビットバタフライゲートを独立したゲートとして扱うことができます入力をスワップするか、または制約なしに残された新しいブール値に基づいて行うかを決定します。その後、Tseitin変換を適用して、回路をSAT句に変換できます。 $n$ $n$ $000\cdots 01$ $n$ $x_1 x_2 \cdots x_n$

これにはゲートが必要であるため、節と新しいブール変数が追加されます。 $\Theta(n \lg n)$ $\Theta(n \lg n)$ $\Theta(n \lg n)$

私が見落としている他の方法はありますか？どちらを使用すればよいですか？誰かがこれをテストしたか、実験的に試しましたか、またはこれらの経験がありますか？節の数および/または新しいブール変数の数は、SATソルバーのパフォーマンスに対するこれの影響を推定するための適切な代替メトリックですか、そうでない場合は、どのメトリックを使用しますか？

私はちょうどことに気づいたこの答えは、すなわち、SATのためのカーディナリティの制約を施行正確という制約を強制する上でいくつかの参照を持つのうち変数真であるが。したがって、私の質問はである特別なケースにます。おそらく、カーディナリティの制約に関する文献は、私の質問に光を当てるのに役立つでしょう。 $k$ $n$ $k=1$

satisfiability sat-solvers applied-theory

— DW
ソース

最新のSATソルバーのほとんどは、カーディナリティー句およびその他の特別な（非CNF）制約をそのままサポートしています。

— ダヴィッドホル

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k = 1の場合、n個の変数のうちk個がtrueである特別なケースでは、KlieberとKwonによる1からN個のオブジェクトを選択するための効率的なCNFエンコーディングで説明されているコマンダー変数エンコーディングがあります。単純化：変数を小さなグループに分割し、司令官変数の状態に、変数のグループがすべてfalseまたはall-but-one falseであることを意味する句を追加します。その後、同じアルゴリズムを再帰的にコマンダー変数に適用します。プロセスの最後に、ほんの一握りの最終的な司令官変数が正しいことを要求します。結果は、O（n）新しい句とO（n）新しい変数です。

DPLLベースのソルバーでの2つの監視リテラルの遍在を考えると、O（n）句の成長は、より多くの句を追加するエンコーディングスキームに対する決定的な利点だと思います。

— カイル・ジョーンズ
ソース

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「小グループ」のサイズが2の場合、これは単なるバイナリ加算です。「コマンダー」は結果ビットであり、キャリーは偽であるとアサートされます。再帰的に行われますが、この方法は完全に一般的であり（Nの1で機能します）、実際に実用的です。

— d8d0d65b3f7cf42

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MagnusBjörkの論文では、試してみる価値のある2つの手法について説明しています。

1-out-of- 、ワンホットエンコーディングとバイナリエンコーディングの両方を同時に使用できます。したがって、ワンホットエンコーディングとしてがあり、バイナリエンコーディングとしてがあります（。我々は、単一の句で、容易に「少なくとも1つ」の制約をコードすることができる：。また、2つのエンコードをと一致させることができます。 $n$ $x_1,\dots,x_n$ $y_1,\dots,y_b$ $b = \lg n$ $(x_1 \lor \dots \lor x_n)$ $2 \lg n$ 句：単に追加しますまたは $x_i \implies \neg y_j$ 、のバイナリエンコーディングの番目のビットが0か1かによって異なります。最後に、「最大1」の制約が自動的に続きます。これにより、SATインスタンスの残りの部分は、より便利なエンコードを使用できます。 $x_i \implies y_j$ $j$ $i$

以下のためにアウトオブ、一つの入力にソーティングネットワークを適用することができソート出力取得するし、その要求句追加真でありおよびは偽です。コンパレータユニットのみを必要とする単純なソートネットワークがいくつかあります。したがって、を使用するエンコードを取得します $k$ $n$ $x_1,\dots,x_n$ $y_1,\dots,y_n$ $y_k$ $y_{k+1}$ $O(n \lg^2 n)$ 句と一時変数。 $O(n \lg^2 n)$

論文は

マグナスビョーク。 SATエンコード技術の成功。2009年7月25日。

以下の論文は、1アウトオブためのエンコーディングの詳細なリストを持っているとアウトオブそれらのそれぞれのいくつかの実験的評価と、。結論は完全に明確ではありません（コマンドのエンコードは実験でかなり良く見えます）。 $n$ $k$ $n$

アラン・M・フリッシュ、ポール・A・ジャンナロス。アットほとんど-kの制約のSATエンコーディング：いくつかの古い、いくつかの新しい、いくつかの高速、いくつか遅いです。ModRef 2010。

— DW
ソース