ユニバーサルアナログ計算には何が必要ですか？

任意のアナログ計算を行うには、どのような操作を実行する必要がありますか？加算、減算、乗算、除算で十分ですか？

また、デジタルではなく、アナログ計算を使用して扱いやすい問題を誰もが正確に知っていますか？

残念ながら、アナログコンピューティングには普遍性の「普遍的な」概念はありません。ただし、Delvenneによるこの論文は、離散（例：チューリングマシン）および連続（例：微分方程式）力学系における普遍性の統一形式を提案し、文献で研究されたいくつかの普遍系をレビューします。以下は、力学系の普遍性を証明する手順を非公式に説明している論文からの抜粋です。

しかし、数学や物理学で研究されているほとんどの動的システムは、セルオートマトン、微分方程式、区分線形マップなど、数え切れない状態空間を持っています。これらのシステムの例は普遍的であることが証明されています。それらの停止の問題は、次の方法でチューリングマシンから模倣されます。特定の初期状態のカウント可能なファミリー、最終状態のカウント可能なファミリー、または最終状態セットを選択します。次に、停止問題に初期状態と最終状態/状態セットが与えられ、初期状態から始まる軌道が最終状態/状態セットに到達するかどうかが決まります。セクション7に、より具体的な例を示します。

Jean-Charles Delvenne、ユニバーサルコンピューティングマシンとは？、Applied Mathematics and Computation、Volume 215、Issue 4、15 October 2009、Pages 1368-1374

私たちが話している計算の種類の定義がない限り、質問に答えることができるとは思いません。

計算のクラスに対する機械モデルの普遍性は、そのクラスの計算が機械によって計算できることを意味します。「任意のアナログ計算」のクラスを定義しない限り、それらに対する普遍性に答えることはできません。

これで、リストした関数は、実際の関数のかなり小さなクラスである多項式とその商のみを提供し、、、などの単純な関数を計算することさえできません...それら。 ⌊ X ⌋ $2^x$$\lfloor x \rfloor$$\sqrt x$

あなたの質問が、初期状態から始まる物理システムがあるかどうか、またいつか別の状態に到達するかどうか、そしてそれが常に計算可能な場合、答えは私たちが話している物理学の種類と設定することの意味に依存します初期設定および結果の観察など。

私たちが古典的な物理学について数学的に話しているだけであれば（初期設定を無限の精度に設定でき、設定を設定するのに必要なエネルギーなどのことを考慮せずに、結果を観察することは数学的な観点からも同様です）長い間、計算可能な関数に関する微分方程式があり、その解は計算可能ではありません。MarianB. Pour-ElおよびJ. Ian Richards、「Computability in Analysis and Physics」、1989年を参照してください。

興味深いケースは、n体問題が計算可能である場合です（そして、少なくとも場合、答えがノーであると正しく覚えている場合）。$n>4$

一般に、実数に関する情報の典型的な類型ではなく、したがってチューリングマシンでは計算できない関数（上位のタイプの関数を含む）計算は連続的です（情報のトポロジを使用しません）。

TL; DR： 「アナログコンピューター」によると、差動アナライザーを意味する場合、答えは加算器、定数ユニット、および積分器です。Bournez、Campagnolo、Graça、およびHainryは、2006年に（ペイウォール付き / 無料再版）、その理想化されたモデルが計算可能な分析のフレームワークですべての計算可能な関数を計算できることを示しました。

超越関数

提案する一連の操作（加算、乗算、減算、および除算）は、ルート方程式で完了しても、超越関数を計算するには不十分です。超越関数には、、、などの非常に一般的な関数が含まれ。ただし、以下で説明するように、一部のアナログコンピューターモデルでは、超越関数と、基本的にチューリングマシンで計算可能なすべての実関数を計算できます。経験$\sin$$\exp$$\log$

アナログコンピューティングモデル

他の人から強調されているように、「汎用計算」の概念は、1930年代に同等の異なる計算モデルで計算可能性の異なる自然な概念が見られる標準コンピューターよりもアナログコンピューターの方が明確ではありません（詳細については、チャーチチューリングテーゼのWikipediaページを参照） 。

このような普遍性を定義するには、最初にアナログ計算用の適切なモデルを定義する必要があります。モデルは理想化され、有用であるように自然である必要がありますが、その理想化は非現実的な力を与えるべきではないため、難しいタスクですモデル。このような優れた理想化の例は、チューリングマシンの無限のテープです。アナログコンピューターの問題には、ゼノマシンのような不合理なものを構築することを可能にすることができる実数が伴います。ただし、いくつかのそのようなモデルが提案され、文献で使用されています（GPACはこの回答の主な主題ですが、ハイパーコンピューターなしで、以下のリストで完全にしようとしています）。

• 汎用アナログコンピュータで定義された（GPAC）、クロード・E.Shannon 1941年（paywalled PDFモデル化する）微分解析機を。GPACの定義は最近改良され、その計算能力は上方修正されました。
• ブラム・シューブ・スメール・マシン実数上の離散時間で動作し、。計算ジオメトリでよく使用されるReal RAMモデルと密接に関連しています。
• $\mathbb R$再帰関数 ;
• ニューラルネットワーク ;
• チューリングマシンで計算可能な実数を調べる計算可能な分析。

GPACモデルの力

彼の1941年論文、シャノンは、モデルにGPACを導入微分解析機のみ相互接続されたユニットの3種類必要.Thisモデル（一定単位、加算器及び積分器を。乗算器は積分器と加算器から構築することができる。）彼はそれ機能の設定することを示しました。は、代数微分関数のセットですが、超越関数を除きます。これは、チューリング計算可能なと生成できないことを意味します。言い換えれば、出力持つ差動アナライザーはありません$\Gamma$$\zeta$$y(t)=\Gamma(t)$、antは、数学者が使用する合理的な計算可能な関数を生成できないため、このようなアナログコンピューターは「ユニバーサル」ではないように長い間思われていました。

しかし、2004年にDaniel SilvaGraçaは、瞬時の計算に基づいた以前のモデルでは制限が厳しすぎることを示しました。関数計算可能性を異なる方法で定義し、入力に対してがに収束できるようにすると、および関数はGPACで計算可能になります。Bournez、Campagnolo、Graça、およびHainryは、2006年に（ペイウォール付き / 無料再版）、その理想化されたモデルにより、計算可能な分析のフレームワークですべての計算可能な関数を計算できることを示しました。Y （T ）、F （X ）X γ $f$$y(t)$$f(x)$$x$$\gamma$$\zeta$

Bournez、Graça、Poulyは2013年に、これらのアナログコンピューターがチューリングマシンを効率的にシミュレートできること（大きなpdfの 181ページ）を示し、2014年にこのモデルでPとNPの複雑度クラスが同等であることを示しました。

ユニバーサルアナログシステムを無限ニューラルネットでモデル化できると提案することは有益でしょうか。つまり、他のアナログシステムの入力/出力値を、特定の操作に合わせてニューラルネットワークに複製し、必要に応じて操作を連鎖できますか？

私は自分でこの考えを策定しましたが、その後の検索で同様の提案が示されました。

登場するのは、デジタルチューリングマシンの代わりにニューラルネットワークモデルを使用するアナログ計算の分野に適用されるチャーチチューリングのような論文です（こちらを参照）。

おそらく、必要なのは、あるノードから別のノードに値を移動するプリミティブ操作だけです。プラス、マイナス、分割の可能性のあるカフから、接続間の比率を取得します。

難解な問題については、ニューラルネットワークが正常に適用されている場所、または個別のコンピューターに実装されているためにパフォーマンスが低下している場所を見てください。

（そして、このトピックに関する私のほとんどの素人の見方が明白に明白である場合、謝罪します）