教会の数字を含むラムダ計算の評価

教会の数字 がλs のように見えることを理解しています。λ Z 。s（... n回...）。何よりも「機能よりも、この手段適用されたファンクション回」。$c_n$$\lambda s. \lambda z. s$s n $s\;z$$s$$n$$z$

関数の可能な定義は次のとおりです：。身体を見ると、その機能の背後にある論理がわかります。しかし、評価を開始すると、行き詰まります。例を挙げて説明します。TはiがmはE 、S = λ M 。λ nは。λ sの。$\mathtt{times}$$\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

$$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$$

この状況で、最初にを適用すると、目的の結果が得られます。ただし、最初に適用すると、アプリケーションが左から関連付けられているため、間違った結果：（λ Z 。$(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$$(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

これを減らすことはできません。何が悪いのですか？結果は$\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

私はあなたの削減は正しいと思います（私はそれを目撃しただけです）。終わりに、あなたは適用することはできませんに、Z、この用語には表示されません。λ Z 。F F zはあるλ Z 。（F 、F ）Zではなくλ Z 。f （f z ）。ラムダ計算の関数は単一の引数を取ります。彼らは効果的にカレーされています$(\lambda z. s s s z)$$z$$\lambda z. f f z$$\lambda z. (f f) z$$\lambda z. f (f z)$：2つの引数を持つ関数は、最初の引数を取り、2番目の引数を取り、結果を返す新しい1つの引数を持つ関数を返す1つの引数を持つ関数として実装されます。

教会の数字を定義するときにも同じ間違いをしました。のチャーチ数は、関数をn回構成することに基づいています。「関数の適用されたn個の関数倍Z」λ S 。λ Z 。s （s （… $n$$n$$s$$n$$z$。あなたが書いたのは、関数 sに n − 1回適用された関数 sであり、最後に zに適用されたものです。$\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$$s$$n-1$$s$$z$

ことである（λ M N S 。M （N S ））（λ S 、Z 。S （$2 \times 3$。私はあなたがそれが軽減していることを確認してもらおう λ sのZ 。s （s （s （s （s （$(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$。$\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$