ラティスは何に使用されますか？

ウィキペディアによると：

完全な格子は、数学およびコンピューターサイエンスの多くのアプリケーションに登場します。

計算で使用される標準のブール代数が完全な格子であるという事実に言及しているだけですか？ブール論理を具体的に使用する代わりに、ラティスの抽象レベルで作業することで得られるものはありますか？

Google検索では、この件についてあまり検索されませんが、おそらく間違ったキーワードを使用しています。

たとえば、この本を参照してください：Lattice Theory with Applications、Vijay K. Garg、次のように始まります：

部分秩序と格子理論は、コンピューターサイエンスとエンジニアリングの多くの分野で重要な役割を果たしています。たとえば、分散コンピューティング（ベクトルクロック、グローバル述語検出）、同時実行理論（pomsets、発生ネット）、プログラミング言語のセマンティクス（固定小数点セマンティクス）、およびデータマイニング（概念分析）にアプリケーションがあります。また、組み合わせ論、数論、群論などの数学の他の分野でも役立ちます。この本では、コンピューターサイエンスでの応用とともに、半順序理論の重要な結果を紹介します。この本のバイアスは、格子理論の計算的側面（アルゴリズム）とアプリケーション（特に分散システム）にあります。

この本は、再帰理論（計算可能な集合の理論）に言及していないようですが、計算可能性理論に関するウィキペディアの記事から、次のことがわかります。

ポストが単純なセットの概念を、無限のリセットを含まない無限の補数を持つリセットとして定義したとき、彼は包含中の再帰的に列挙可能なセットの構造を研究し始めました。この格子はよく研究された構造になりました。再帰セットは、セットとその補数が両方とも再帰的に列挙可能である場合にのみ、セットが再帰的であるという基本的な結果によってこの構造で定義できます。無限のリセットには、常に無限の再帰サブセットがあります。しかし、一方で、単純なセットは存在しますが、コインリミテッドな再帰的スーパーセットはありません。Post（1944）は、すでに超単純および超超単純セットを導入しています。すべてのreスーパーセットが指定された最大セットの有限バリアントであるか、または共有限であるようなreセットである後の最大セットが構築されました。役職' このラティスの研究における最初の動機は、この特性を満たすすべての集合が再帰集合のチューリング次数でも停止問題のチューリング次数でもないような構造概念を見つけることでした。ポストはそのような特性を見つけられず、彼の問題の解決策は優先メソッドを代わりに適用しました。Harrington and Soare（1991）は、最終的にそのような財産を見つけました。

さらに読むには、ブログ投稿「プログラマーと非コンピューター科学者のための格子理論」を参照してください。

PålGDによって与えられた参考文献は実際に非常に適切です。そこで、代わりにこの回答のマイナーな側面の問題に焦点を当てましょう。少し前にラティスについて読んだことがありますが、半格子の概念がアプリケーションにとってより適切ではなかったのではないかと思い始めました。完全な半格子も自動的に格子であることに反対するかもしれませんが、準同型と部分構造（すなわち、副格子と半半格子）は異なります。

私は、可換semi等半群として、半群を研究するときに最初に（半）格子に遭遇しました。それから、階層構造と格子の関係について考え、木も自然に半格子であることに気付きました。その後、セキュリティコンテキストとプログラム分析でラティスを見つけましたが、半格子構造が本当に重要な部分であり、「無料」で取得できるため、ラティスが採用されたように思えました。Heyting代数の場合でも、非対称半格子モデルは対称格子モデルよりも多くの洞察を提供する可能性があることを示唆する論理積と分離の間に非対称性があります。

非常に重要ですが、それほど有名ではないケース-理論家の間ではよく知られていますが、学部生に教えられているという意味ではあまり知られていません-格子の使用は、単調回路のサイズの超多項式下限を証明することです計算クリークためRazborov勝ったNevanlinna賞を。しかし、元の構造は非常に技術的であり、たとえばBerg / Ulfbergなどの後の構造は、格子を参照せずにフレームワークを単純化します。

そのため、この場合、元の証明を発見するためのフレームワークとして格子理論が使用されましたが、後の定式化では、概念の単純化としてそれを直接参照しない傾向がありました。

そのため、はい格子はよりエキゾチックな数学オブジェクトと見なされる可能性があります[Razborovは、CSに高度な数学を適用するスタイルについて他の場所で話しています]。すなわち、「ほぼ正しい」答えを出し、格子が正確な回路を不正確な近似回路に変換するための一種の「誘導構造」である回路のブールゲート。

それ以来、他の興味のある読者のために、フリーペーパーのOrdered Sets and Complete Lattices：A Primer for Computer Scienceを見つけました。

規則的なエッジのラベリングと関連する構造は、分配格子を形成します（たとえば、こちらを参照）。これを利用して、指定されたグラフのすべての通常のエッジラベリングのスペースを効率的に検索できます（こちらを参照）。アプリケーションとして、顔に特定の領域が割り当てられたカートグラムとしてマップを描画できるかどうかを判断できます。

また、驚くべきことに（少なくとも私にとっては）暗号化。確認してください。既知の暗号システムの新しい攻撃を許可し、量子計算後の暗号化に希望を与えます。