番号割り当て

10

与えられた数字ように番号の割り当てがあるの順列で $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ そのような $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

？

効率的なアルゴリズムが見つからないため、この問題を解決できます。それは組み合わせの問題のようです。同様のNP-Complete問題を見つけることができませんでした。この問題は既知のNP完全問題のように見えますか、それとも多項式アルゴリズムで解決できますか？

np-complete decision-problem

— gprime
ソース

あなたは問題で何か進歩を遂げましたか？

— Yuval Filmus 2013年

私がいることを言及するのを忘れてしまった

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

関連する問題、満足のいく答えもなし。（一見してそれらがどのように関係しているかは一見して明確ではないかもしれませんが、

場合、問題は

順列を見つけることと同等であり、

ます。

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor 2013

8

この問題は強くNP完全です。

すべてのが奇数であると仮定します。次に、は奇数であるため、との一方が偶数で、もう一方が奇数であることを知っています。は奇数で、は偶数であると仮定できます。させることで $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ 及び $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ 、私たちは、この2つの順列を求めると同等であることを示すことができるとの数字で、、このようなこと $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ 。 $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

この問題はNP完全であることがわかっています。参照このcstheory.se問題とこのW.ユー、H.ホーヘフェーン、およびJK Lenstraの紙答えで参照を。

— ピーター・ショー
ソース

6

$1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— ユヴァルフィルムス
ソース

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

2

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

ええ、それらは分類されています。私はこれを使おうとします...

— gprime 2013年

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

@torquestomp：あなたは良い点を上げています。実際、ある方向からの制限は他の方向からの制限も意味しますが、それは一見してまったく明白ではありません。私は同様の問題を検討しましたが、単純なアルゴリズムを理解できませんでした（しかし、これらの基準の類似物は確かに十分であるようにも見えました）。

— Peter Shor、2013年

0

これはマッチングの問題なので、エドモンドのアルゴリズムを使用して解決できます。ウィキペディアを見る

— 意志
ソース

1

Stackexchangeのアイデアは、合理的に可能な限り完全なQ＆Aを提供することです。あなたはあなたの答えを単なるウィキペディアへのリンク以上のものに拡張できますか？

— ルークマシソン2013年

詳しく説明できますか？そのアルゴリズムを使用して質問を解決する方法を確認できませんでした。

— gprime 2013年

1

実際、私にとっては、3マッチングの特別なケースのように見えます。これは、OPの問題がNP完全であることを意味するものではありません。

— Peter Shor

それはおそらく二部構成のマッチングでしょうか？私はそれを理解できるかどうかを確認するために3マッチングを調べます。ありがとう！

— gprime 2013年