任意の2つの整数間の最小の素数チェーンの長さ

次のステートメントを検討してください。

いずれかの、次のいずれかが成り立ちます。 $a < b \in \mathbb{N}$

1. $\gcd(a,b) = 1$。
2. ある$a < x < b$よう $\gcd(a,x) = \gcd(x,b) = 1$。
3. ある$a < x < y < b$よう $\gcd(a,x) = \gcd(x,y) = \gcd(y,b) = 1$。

この声明は本当ですか？

動機：

私は最近のアルゴリズム競技会の1つでこの問題の変形を見つけました。

次の問題を検討してください。

入力： 2つの整数$a$と$b$ここで$a \lt b$。

出力：最小数$l$整数であるように $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_l < x_{l+1} = b$：リスト内のすべての連続する整数が互いに素であるよう $\gcd(x_i, x_{i+1}) = 1$ for $i=0,\ldots, l$。

例：

1. $a = 7, b = 13$： $\gcd(a,b) = 1$、したがって$l = 0$。

2. $a = 10, b = 12$： $\gcd(a,b) = 2 \neq 1$、したがって$l \geq 1$。シーケンスは、とする$10, 11, 12$。$\gcd(10, 11) = 1, \gcd(11, 12) = 1$。

3. $a = 2184, b = 2200$：ようなはありません。ただし、この問題を満たす整数を見つけることができます。$a< x < b$$\gcd(a,x)=\gcd(x,b)=1$$2$

アルゴリズムが評価される参照アルゴリズムがあります。そのアルゴリズムは、

1. 条件を満たすは常に存在します。$l$

2. $l\leq 2$。

それらが真実である理由がわかりません。

どちらも想定していない多項式時間アルゴリズムがあります。参照アルゴリズムと比較して漸近的なパフォーマンスを失うことはありませんが、仮定の妥当性を理解して証明できれば、パフォーマンス定数を大幅に下げることができます。

予想は開いているようです。Doweの論文では、予想3として述べられています。ダウは、ゴールドバッハの予想が暗示することを示し、アランウッズが博士論文でが有界であることを示したことに言及しています。おそらく、最近の奇妙なゴールドバッハ予想の証明もまた、明確で小さな限界を暗示しています。$\ell \leq 2$$\ell \leq 3$$\ell$

もしその後、オルドス・ウッズの番号です。特に、場合、と両方がErdős-Woodsの数値でなければなりません。A059756は最初のいくつかのエルデスウッズ番号をリストします。そのリストのすべての数は偶数ですが、奇数のエルデスウッド数もあり、その一部はA111042にリストされています。特定の差異に対応するの最小値は A059757にリストされています。このリストは増えていませんが、数がかなり急速に増えているように見えます。反例は、と両方になるようにします。$\ell > 1$$b-a$$\ell > 2$$b-a$$b-a-1$$a$$\ell \leq 2$$b-a$$b-a-1$Erdős-Woods数、特に（A059756ごと）。これは、そのような反例が巨大であることを示唆しています（しかし証明していません）。したがって、すべての実用的な目的のために、と仮定できます。$b-a > 430$$\ell \leq 2$