セット交差点のデータ構造？

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次の操作をサポートするセットの集合を保持するデータ構造はありますか？準線形の実行時間はありがたいですか？

空のセットを初期化します。
セットに要素を追加します。
2つのセットを指定して、それらが交差するかどうかを報告します。

data-structures sets

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これは非常に一般的な質問です。なぜなら、どのデータ構造も有限ドメインでのこれらの操作をサポートできるからです。もう少し具体的に教えていただけますか？例えば。あなたが必要なものの複雑さ、あなたは喜んなど一連の操作を取得するために犠牲にするものです

— バルトシュPrzybylskiの

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各セットは他のセットが存在するかの記録を維持し、あなたが全体の持っている場合はセット、簡単に（収集のために任意のデータ構造を変えることができます例えば、二分探索木をなど、あなたがの検索を持つことができるものに）時間の2セットの交点の要素。 $s > 0$ $O(\log s)$

各セットには、完全に順序付けられたセットの一意の識別子が必要です。セットに明示的に名前を付けると、識別子は単なるインデックスになります。 $S_1, S_2, \ldots$
セットの「レジストリ」を実装する必要があります。定義したすべてのセットのコレクションを保持するデータ構造。レジストリは、検索ツリーデータ構造として実装する必要があります。これにより、検索を簡単に（たとえば 、セットを削除する場合）、セットの線形時間走査が可能になります。
各セットは、他の各セットの「インデックス」も保持します。それらのコピーではなく、他のセットのラベルによってインデックス付けされたデータ構造です。このインデックスは、各セットのために、維持するために使用されるの要素のすべてのバイナリ検索ツリー。（2つのセットとは、その検索ツリーの1つのコピーを共有します。） $S_j$ $S_k$ $S_j \cap S_k$ $S_j$ $S_k$

初期化

セットの初期から成る操作はその要素のツリー初期化するあなたは（レジストリからのコピー）を初期化などの操作を設定するための指標、およびレジストリを走査してを他の各セットインデックスに追加するときの操作。指標では、我々は代表探索木作成 $T = \varnothing$ $O(1)$ $O(s)$ $T$ $O(s \log s)$ $T$ $S_j$ $T$ $T \cap S_j = \varnothing$ 他のセット。インデックスに同じポインタをコピーします。 $S_j$ $S_j$

セットへの要素の追加 $T$

いくつかの追加セットに時間かかりここで、いつものように。我々のメンバーシップのために、試験他のセットの各々における時間かかり、 $x \in V$ $T$ $O(\log n_T)$ $n_T = |T|$ $x$ $S_1, S_2, \ldots$ ここではユニバース（または最大セット）のサイズであり、はレジストリ内のセットの数です。各セットのためにような、インサート、セットのインデックスに。このような各セットについて、これがかかりルックアップする時間を、

O (\log n_{S_{1}} + \log n_{S_{2}} + \dots) \subseteq O (s \log n),

$O(\log n_{S_1} + \log n_{S_2} + \cdots) \subseteq O(s \log n) ,$

n = | V |

$n = |V|$

S_{j}

$S_j$

s

$s$

S_{j}

$S_j$

x \in S_{j}

$x \in S_j$

x

$x$

S_{j} \cap T

$S_j \cap T$

S_{j}

$S_j$

O (\log s + \log n_{T})

$O(\log s + \log n_T)$

S_{j}

$S_j$ 指標で

と挿入する

に

。すべてのセット

これには時間

がかかり

。我々はセット数と仮定した場合

はるかに少ない宇宙の大きさよりも

（私たちが思うならば、ある

）、要素の挿入のための総時間は、ある

T

$T$

x

$x$

S_{j} \cap T

$S_j \cap T$

S_{1}, S_{2}, \dots

$S_1, S_2, \ldots$

O (s \log s + s \log n_{T})

$O(s \log s + s \log n_T)$

S_{j}

$S_j$

V

$V$

s ≪ n

$s \ll n$

O (s \log n)

$O(s \log n)$ 。

$x \in S$ $T$ $x$ $O(\log n_T)$

交差点試験

$S_j$ $S_k$ $S_j$ $S_k$ $O(\log s)$ $S_j$ $S_k$ $S_j \cap S_k$

エレメント除去

$x$ $T$ $T$ $S_j \cap T$ $S_j$ $O(s \log n_T)$ $n_T = |T|$

セット削除

$S$ $S_j$ $O(sn_T)$ $S_j \cap T$ $S_j$ $n_T = |T|$

備考

一定数のセットのみを実装する場合、上記の実行時間は次のように短縮されます。

$O(1)$
$O(\log n)$
$O(1)$
$O(\log n_T)$
$O(n_S)$

$n$ $n_T = |T|$ $T$

$O(|V|)$ $V$ $S$ $T$ $S$

— ニール・ド・ボードラップ
ソース

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最悪の場合でも、線形時間未満でこれを行うことができるデータ構造があります。http://research.microsoft.com/pubs/173795/vldb11intersection.pdf（およびそこにある論文参照）を参照してください。

2つのセットSとTの交差部分が大きく、Sの辞書がある場合、Tの要素をランダムな順序で検索すると、すぐに共通の要素が得られます。最も難しいケースは、交差サイズが0または1の場合です。

— ラスマス・パグ
ソース

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通常、選択したプログラミング言語は、一意の要素を持つデータ構造をサポートします。一般に、ツリー、ハッシュ、ビットマスクという3つの一般的なアプローチがあります。ツリー要素は比較可能でなければならず、ハッシュ要素はハッシュ可能でなければならず、ビットマスク要素は整数への何らかの変換方法を持たなければなりません。

ツリーセットは、O（log n）への挿入と、最悪の場合のO（n log n）での交差テストをサポートします。

ハッシュセットは、「h」がハッシュアルゴリズムの実行時間であるAmortized O（1 * h）への挿入と、最悪の場合のO（n）での交差テストをサポートします。

通常、ビットマスクセットは、ツリーセットやハッシュセットのようには使用されません。

— カールダンガードアスムッセン
ソース

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これはまともなスタックオーバーフローの答えになりますが、ここでは、その仕組みと理由について詳しく説明します。

— ラファエル

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あなたのケースが偽陽性の回答を許可する場合、私は単一のハッシュ関数でブルームフィルターを使用します。

次のように実装できます。

空のセットを初期化する

$B$ $n$ $n$

セットに要素を追加します。

$B[hash(element)]=1$

2つのセット（B1、B2）が与えられた場合、それらが交差するかどうかを報告します。

$B1$ $AND$ $B2$ $=$ $0$

複雑

$n$ $O(1)$

— グリシャ・ワイントローブ
ソース