セットのパーティションを表すコンパクトな方法は何ですか？

セットパーティションを表すための効率的なデータ構造が存在します。これらのデータ構造は、UnionやFindなどの操作には時間的に複雑ですが、スペース効率は特に高くありません。

セットのパーティションを表すスペース効率の良い方法は何ですか？

以下は、考えられる開始点の1つです。

要素を持つセットのパーティション数は、番目のベル数であるであることを知っています。したがって、要素を持つセットのパーティションを表すための最適な空間の複雑さは、ビットです。そのような表現を見つけるために、（要素のセットのパーティションのセット）と（からまでの整数のセット）の間の1対1のマッピングを探すことができます。 $N$ $B_N$ $N$ $N$ $\log_2(B_N)$ $N$ $1$ $B_N$

計算するのに効率的なそのようなマッピングはありますか？「効率的」とは、このコンパクトな表現を、または時間多項式で、操作が簡単な表現（リストのリストなど）との間で変換したいということです。 $N$ $\log_2(B_N)$

— cberzan
ソース

疑問に思って、

は、整数がパーティションを表すセットの各要素に一意の整数を割り当てるだけの単純な/自然なエンコーディングからどれくらい離れているでしょうか？多分それは「それほど大きな違いではない」...

\log_{2} (B_{N})

$\log_2(B_N)$

— vzn 2013

以下の漸化式を導き出す方法を使用して、エンコーディングを見つけることができます：

B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{k} .

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.$ これは、要素

n + 1

$n+1$ を含む部分に他の要素がいくつあるかを検討することによって証明されます。ある場合

n - k

$n-k$ これらの、そして我々は持っている

(\binom{n}{n - k}) = (\binom{n}{k})

$\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$ それらの選択肢、および残りを分割するための

B_{k}

$B_k$ 選択肢。

これを使用して、 $n+1$ パーティションを $0,\ldots,B_{n+1}-1$ の範囲の数値に変換する再帰的アルゴリズムを提供できます。私はあなたが既にサイズのサブセット変換の方法があるとし $k$ の $\{1,\ldots,n\}$ の範囲内の数値に $0,\ldots,\binom{n}{k}-1$ （このようなアルゴリズムは、Pascalの再帰 $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$ ）。

$n+1$ 含む部分に $k$ 他の要素が含まれているとします。コード $C_1$ を見つけます。残りのすべての要素をその範囲に「圧縮」して、 $\{1,\ldots,n-k\}$ パーティションを計算します。そのコード $C_2$ 再帰的に計算します。新しいコードは

C = \sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} + C_{1} B_{n - k} + C_{2} .

$C = \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l + C_1 B_{n-k} + C_2.$

他の方向では、コードの所与 $C$ 、ユニーク見つける $k$ ように

\sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} \leq C < \sum_{l = 0}^{n - k} (\binom{n}{l}) B_{l},

$\sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l \leq C < \sum_{l=0}^{n-k} \binom{n}{l} B_l,$ および定義

C^{'} = C - \sum_{l = 0}^{n - k - 1} (\binom{n}{l}) B_{l} .

$C' = C - \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l.$ 以降

0 \leq C^{'} < (\binom{n}{k}) B_{n - k}

$0 \leq C' < \binom{n}{k} B_{n-k}$ 、それはのように書くことができる

C_{1} B_{n - k} + C_{2}

$C_1 B_{n-k} + C_2$ 、

0 \leq C_{2} < B_{n - k}

$0 \leq C_2 < B_{n-k}$ 。今

C_{1}

$C_1$ コードを含む部分の要素

n + 1

$n+1$ 、および

C_{2}

$C_2$ コードのパーティション

{1, \dots, n - k}

$\{1,\ldots,n-k\}$ 、再帰的にデコードできます。デコードを完了するには、後者のパーティションを「解凍」して、

n + 1

$n+1$ を含む部分に表示されないすべての要素が含まれるようにする必要があります。

同じ方法を使用して、サイズののサブセット $S$ を再帰的にエンコードする方法を次に示します。場合、コードは、そう仮定する。もし次いでせてのコードでサイズのサブセットとして、の $\{1,\ldots,n\}$ $k$ $k=0$ $0$ $k>0$ $n \in S$ $C_1$ $S \setminus \{n\}$ $k-1$ $\{1,\ldots,n-1\}$ ; $S$ のコードは $C_1$ です。もし $n \notin S$ 次いでせて $C_1$ のコードで $S$ サイズのサブセットとして、 $k$ の $\{1,\ldots,n-1\}$ 。 $S$ のコードは $C_1 + \binom{n-1}{k-1}$ 。

コード $C$ をデコードするには、2つのケースがあります。もし $C < \binom{n-1}{k-1}$ 、次いでデコードA部分集合 $S'$ の $\{1,\ldots,n-1\}$ サイズの $k-1$ コードである $C$ 、及び出力 $S' \cup \{n\}$ 。そうでなければ、デコードA部分集合 $S'$ の $\{1,\ldots,n-1\}$ サイズの $k$ コードである $C - \binom{n-1}{k-1}$ 、および出力 $S'$ 。

— ユヴァルフィルムス
ソース

すばらしい答え。ありがとうございました。マイナーバグ：上部の漸化式の証明スケッチでは、私はあなたの意味だと思う「がある

これらの」代わり「があるの

-その後、残ったものを」

要素がに分割することができる

方法。

n - k

$n - k$

k

$k$

k

$k$

B_{k}

$B_k$

— cberzan 2013