DFTのクロスエッジとフォワードエッジの違い

深さ優先ツリーには、ツリーを定義するエッジがあります（つまり、トラバーサルで使用されたエッジ）。

他のノードのいくつかを接続するいくつかの残りのエッジがあります。クロスエッジとフォワードエッジの違いは何ですか？

ウィキペディアから：

このスパニングツリーに基づいて、元のグラフのエッジは3つのクラスに分けることができます。ツリーのノードからその子孫の1つを指す前方エッジ、ノードからその祖先の1つを指す後方エッジ、そしてどちらもしないクロスエッジ。時々、スパニングツリー自体に属するエッジであるツリーエッジは、フォワードエッジとは別に分類されます。元のグラフが無向の場合、そのエッジはすべてツリーエッジまたはバックエッジです。

あるノードから別のノードを指すトラバーサルで使用されていないエッジは、親子関係を確立しませんか？

ウィキペディアには答えがあります：

この図には、すべてのタイプのエッジが表示されています。このグラフでDFSをトレースし（ノードは番号順に探索されます）、直感が失敗する場所を確認します。

これは図を説明します：-

前方エッジ：（u、v）、ここでvはuの子孫ですが、ツリーエッジではありません。DFSツリーの頂点と子孫に頂点を接続する非ツリーエッジです。

クロスエッジ：その他のエッジ。同じ深さ優先ツリーまたは異なる深さ優先ツリーの頂点間を移動できます。（素人）
グラフGの他のエッジです。2つの異なるDFSツリーの頂点、または同じDFSツリーの2つの頂点を接続しますが、どちらももう一方の祖先ではありません。（正式）

無向グラフのDFSトラバーサルは、頂点に入射するすべてのエッジが探索されるため、クロスエッジを残しません。

ただし、有向グラフでは、以前に発見された頂点につながるエッジに出くわし、その頂点が現在の頂点の祖先または子孫ではない場合があります。このようなエッジをクロスエッジと呼びます。

DFSトラバーサルでは、すべての子が終了するとノードが終了します。トラバーサル中に各ノードの検出時間と終了時間をマークすると、開始時間と終了時間を比較して、ノードが子孫であるかどうかを確認できます。実際、DFSトラバーサルは、次のルールに従ってエッジを分割します。

d [node]をノードの発見時間とし、同様にf [node]を終了時間とします。

括弧の定理すべてのu、vについて、次のいずれかが正確に当てはまります
。1. d [u] <f [u] <d [v] <f [v]またはd [v] <f [v] <d [u ] <f [u]であり、uとvのどちらも他方の子孫ではありません。

2. d [u] <d [v] <f [v] <f [u]であり、vはuの子孫です。

3. d [v] <d [u] <f [u] <f [v]そしてuはvの子孫です。

したがって、d [u] <d [v] <f [u] <f [v]は起こり得ません。
括弧のように：（）[]、（[]）、[（）]は問題ありませんが、（[）]と[（]）は問題です。

たとえば、エッジのあるグラフを考えます。A-
> B
A-> C
B-> C

訪問の順序をノードラベルの文字列で表すとします。「ABCCBA」はA-> B-> C（終了）B（終了）A（終了）を意味し、（（（）））と同様です。

したがって、「ACCBBA」は「（（）（））」のモデルになる可能性があります。

例：
"CCABBA"：CCがAの内側にないため、A-> Cはクロスエッジです。
"ABCCBA"：次にA-> Cはフォワードエッジ（間接的な子孫）です。
"ACCBBA"：次に、A-> Cはツリーエッジ（直接の子孫）です。

出典：
CLRS：
https : //mitpress.mit.edu/books/introduction-algorithms Lecure
Notes http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Algorithms/MyAlgorithms/GraphAlgor/depthSearch.htm