文脈自由言語は補完の下で閉じられますか？

文脈自由言語は補完の下で閉じられていません、私たちはそれを知っています。

私の知る限り、一部の文字サブセットでコンテキストフリー言語は、complement（!?）の下で閉じられます。$a^*b^*$$a,b$

これが私の議論です。各CF言語は、半線形パリフイメージます。半線形集合は補数の下で閉じられます。半線形セットを表すベクトルのセットは、線形文法に簡単に変換できます。$L$$\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$

質問。この事実に簡単にアクセスできる参照はありますか？

技術的には、これらの言語はboundedと呼ばれます。つまり、一部の単語のサブセットです。$w_1^* \dots w_k^*$$w_1,\dots,w_k$

この質問に対する私の動機は、の文脈自由度に関する最近の質問からです。内のその補完は処理が簡単に思えます。$\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$$a^*b^*$

境界のある文脈自由言語のこの特徴づけは、ギンズバーグ（「文脈自由言語の数学理論」）によるものであり、彼の本の帰結5.3.1として現れています。一般的なには半線形集合にいくつかの制限がありますが、これらの制限が常に満たされるため、そのような言語の補完（）がコンテキストであると推論するのは簡単です無料です。$k$$k \leq 2$$w_1^* w_2^*$

ギンズバーグは彼の本の中でこれらの含意に言及しています。

結果5.6.1およびが[コンテキストフリー]言語、およびワードである場合、は[コンテキストフリー]言語です。$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1\cap M_2$

結果5.6.2およびが[コンテキストフリー]言語、およびワードの場合、およびは[コンテキストフリー]言語です。$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1 - M_2$$M_2-M_1$

別の証明では、この回答で証明された次の特性評価を使用しています。

言語文脈自由IFFでありプレスバーガー算術で定義可能です。$\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$$A$

明確 IS定義可能でプレスブルガー算術IFFプレスバーガー算術で定義可能です。$A$$\overline{A}$

これは、言語がコンテキストフリーである場合、言語のすべてのブール式（ユニオン、インターセクション、および補完を含む）もコンテキストフリーであることを示しています。$L_i \subseteq a^*b^*$