プレイヤーが遅れて参加したときの公平なケーキカット

公平なケーキカット問題に関する通常の声明では、人のプレーヤー全員が同時にシェアを獲得すると想定しています。ただし、多くの場合、プレーヤーは段階的に到着します。たとえば、ケーキをn人のプレーヤーに分割する場合がありますが、新しいプレーヤーが到着し、シェアを求めています。$n$$n$

通常、フェアケーキの分割には多くの労力が必要です（たとえば、プレーヤーの数が多い場合は、プレーヤーが多くのクエリに回答する必要があります）。

追加の労力を最小限に抑えて（つまり、ケーキを最初から再配布するよりも大幅に少ない労力で）、n + 1プレイヤーにケーキの新しい区分を作成するために、プレイヤー以上の既存のケーキ区分を使用することは可能ですか？$n$$n+1$

私はあなたの質問に良い答えを提供することはできないと私は前に言います（できれば、あなたはそれから研究論文を得ることができると思います）が、私は問題を正式に定義し、どこにどこかを述べることで助けることができると思います困難のうそ。

背景。ケーキカットのモデルを明確に述べましょう。我々は、間隔に分割することを望むの間にn個の選手。各プレーヤーiには、ケーキのサブセットSに対する評価関数v i（S ）があります。この関数は確率測度であると想定します。それは互いに素のために（非負及び添加剤であるA 、B ⊆ [ 0 、1 ]、V I（A ∪ B ）= V I$[0,1]$$n$$i$$v_i(S)$$S$$A,B \subseteq [0,1]$）と V I（[ 0 、1 ] ）= 1。この問題の解決策は、プレーヤーにクエリを実行し、間隔の一部を割り当てるプロトコルまたはアルゴリズムです。プレイヤーは誤った報告をしたり、クエリに答える可能性があることに注意してください。$v_i(A \cup B) = v_i(A) + v_i(B)$$v_i([0,1]) = 1$

一部の論文には、より具体的な制限があります。たとえば、評価関数は連続的、区分的線形、または区分的定数です。

$\{S_1,\dots,S_n\}$

• $i$$(1/n)v_i([0,1])$$i$$1/n$
• $v_i(S_i) \geq v_i(S_j)$$j$

羨望の自由は比例を意味することに注意してください。

数個にカットしたり、多項式の実行時間（または実際に計算可能性/構築可能性）のような「操作」プロパティもあります-選択の公理を使用してケーキのサブセットを選択したくない！ ）、 等々。

$1$

第二に、ケーキ全体を全員から取り戻し、既知のアルゴリズムを使用してケーキを最初から再配布することで、常に問題を解決できます。したがって、問題は、これを行うためのややエレガントな方法があるかどうかだけです。これを定量化するための良い方法は、「再配布に最初から開始するよりも少ない時間または少ないカットが必要な場合、および/またはプレーヤーが現在のスライスのかなりの部分を保持できるようになるのはいつか」です。

1. $n$$n+1$

$n+1$

1. $n$$n+1$

$1/n$$1$$1/n$$2$$(n-1)/n$$2$$1/n$$3$$(n-1)/n$$n$$1/n$$1$$(n-1)/n$$2$$1$$3$$2$

参照の1つは、Algorithmic Decision Theory 2011（pdf link）のWalsh、Online Cake Cuttingかもしれません。しかし、私は紙が私たちが事前に到着するエージェントの数を知っていると仮定し、彼らが去るとき（プロトコルの終了前）にプレーヤーに正確にピースを割り当てる必要があると仮定しているので、それは実際にはあなたの問題には当てはまりません。

$n$$n+1$$n+1$$n$

$C$$r$$n$$\frac{\pi r^2}{n}$$(n+1)$$n+1$

数値の計算は簡単です。最初の新しいプレーヤーのために、単に解決します

$\qquad \pi r_1^2 = \frac{\pi r^2}{n+1}$

彼のプロットの半径を取得します。第二に、解決

$\qquad\begin{align} \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \\ \pi r_2^2 - \pi r_1^2 &= \frac{\pi r^2}{n+2} \end{align}$

$n + i$$r_i = \frac{r\sqrt{i}}{\sqrt{n+k}}$$k$

$n=6$$k=0,1,2,3$

^{[ ソース ]}

$n$$n$