最大7つの比較で5つの整数の配列をソートします

最悪の場合に7つの比較が必要になるように、5つの整数のリストをソートするにはどうすればよいですか？他の操作がいくつ実行されるかは気にしません。私は整数について特別なことは何も知りません。

私はマージソートアプローチに従うか、マージソートとバイナリサーチを使用して挿入位置を見つけるなど、8つの比較にまで下がったいくつかの異なる分割統治アプローチを試しましたが、最終的には8つの最悪の場合を比較します。

今のところ、解決策ではなく、ヒントを探しています。

algorithms sorting

「比較先」ツリーを書いてみましたか？それは持っている

個のリーフ。それぞれが整数の順列に対応します。「比較」ツリーの意味がわからない場合、

比較が必要であることの証明を知っていますか？追伸、それが可能だと思う理由は何ですか？

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— PAL GD

さて、8ビット2の補数でif(x > y)は、if((x - y) & 0x80)ほとんど比較されません。私たちは、オブジェクトが整数であることを忘れなければならないと思いますし、我々はいくつかの魔法を使用する必要があるとcompare(x, y)...これらのオブジェクトを比較する機能を

— KarolisJuodelė

「正確にこの質問を扱っているThe Art Of Computer Programmingの Volume 3の最適な並べ替えに関するセクション5.3をチェックしてください」はヒントまたは解決策としてカウントされますか？:-)

— スティーブンスタドニツキ

バウンドは本当にある

、および

。したがって、それは可能です（原則）。

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— フォンブランド

関連：最小数の比較で配列を並べ替える

— ヤヌストロエルセン

回答:

このプロセスを開始する方法は1つしかありません（また、後のステップで何を比較するかについてのほぼすべての決定に対して、正しいものは1つしかありません）。これを理解する方法は次のとおりです。最初に、比較のために取得できる回答はであり、区別する必要がある異なる順列。 $2^7 =128$ $5! = 120$

最初の比較は簡単です。2つのキーを比較する必要があり、それらについて何も知らないので、すべての選択肢が等しく良いです。それでは、あなたが比較しましょうと、そしてことがわかり。これで、可能な回答が残り、可能な順列が残ります（それらの半分を削除したため）。 $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

次に、と比較するか、最初の比較で使用したキーの1つとを比較できます。我々は比較した場合および、その学び、その後、我々は持っている $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ の残りの答えとの可能な順列を。我々は比較一方、用いて、我々はその発見、我々は我々が排除されたため、残りの可能な順列をの可能な順列（とそれらの $30$ $c$ $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ）。残りの回答はしかありませんので、運が悪いです。 $c \leq a \leq b$ $32$

これで、1番目と2番目のキー、3番目と4番目のキーを比較する必要があることがわかりました。我々は持っていると仮定することができと。をこれらの4つのキーのいずれかと比較する場合、前のステップで使用した引数と同じ引数を使用して、のみを削除します。同様のカウント引数は、比較する必要があることを示しています $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ 、残りの順列の、そして私たちは運の外出します。したがって、キー 2つを比較する必要があります。対称性を考慮するとと比較か、と比較かの2つの選択肢あり $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ と。私たちは、その一般性を失うことなく想定することができ、そして今、私たちは持っていると。 $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

あなたがヒントを求めたので、私は議論の残りを通過しません。残り4つの比較があります。それらを賢く使用してください。

— ピーター・ショー
ソース

と

を比較

と40個の順列しか得られないのはどうしてですか？

a

$a$

c

$c$

— ロバートS.バーンズ

@Robert：あなたが持っていると仮定

と

。次いで、二置換が存在する

これらの制約と一致し、

と

。これら2つの順列のそれぞれについて、

を追加できる4つの場所があります

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$ を

を追加できる5つの場所があります。

e

$e$

— ピーターショー

これはD.KnuthのThe Art of Computer Programming vol IIIにありますが、戦略は次のとおりです（配列があると仮定します）：ヒントを読みたい場合私の答えの最初の2行だけ $\{a,b,c,d,e\}$

番号の最初のグループペア：。 $(a,b), (c,d)$
ペアを比較してソートします（例：。 $a<b, c<d$
ペアの最小要素を比較して、結果（例えば）を取得し。 $a<c$
最後の要素、最後の比較でより大きな要素と比較します（c）
- 場合、残り3つの比較で簡単に終了します。終わった。 $e<c$
- 場合、知識c < e 、c < dで{ b 、c 、d 、e }をソートする必要があります。
  - 、 d < eの場合
    - b > dの場合、、d ）
      - 。終わった。 $Compare(b,e)$
    - b < dの場合
      - 。終わった。 $Compare(b,c)$
  - d > eの場合
    - 場合 B > E
      - 。終わった。 $Compare(b,d)$
    - b < eの場合
      - 。終わった。 $Compare(b,c)$

上記のすべての方法は、と最初に比較した後、最大3回の比較の原因となり。（最大7を意味します）。 $e$ $c$

— ジョージ
ソース

これは正しいですか？次の結果が得られると仮定します：a <b、c <d、a <c、そしてc <e、b <e、c <b、d <e。順序a <c <b <d <eおよびa <c <d <b <eは両方とも一貫しています。その理由は、bとdが暗黙的または明示的に比較されることは決してないからです。多分私はどこかに間違えているので、もしそうなら私を修正してください。

— ジョージ