3-SAT NPハードの「ローカル」バージョンはありますか？

以下は、空間ベイジアンネットワークに関する大規模な研究プロジェクトの一部を簡略化したものです。

変数が出現する最初の句と最後の句の間により少ない句がある場合、文字列変数が " -local" であるとします（は自然数）。$k$$C \in 3\text{-CNF}$$k$$k$

ここで、任意のに対して、すべての変数という基準によって定義されたサブセットある -local。何のためである（もしあれば） NP困難？$(3,k)\text{-LSAT} \subseteq 3\text{-SAT}$$C \in (3,k)\text{-LSAT}$$C$$k$$k$$(3,k)\text{-LSAT}$

これが私がこれまでに検討したことです：

（1）がPであることを意味するものとして書き直し、これらの意味の有向グラフ上の有向パスを調べることにより、ここに記され、詳細はpp.184-に示されています。 Papadimitriouの計算の複雑さの185 ）。とは異なり、には有向パスの分岐がありますが、有向パスの数は変数の空間的制約によって制限されている可能性があります。これまでのところこれで成功はありません。$2\text{-SAT}$$2\text{-SAT}$$(3,k)\text{-LSAT}$

（2）（または他の既知のNP完全問題）のへの多項式時間短縮。たとえば、新しい変数を導入するさまざまな方法を試しました。ただし、元の変数を含む句をまとめるには、通常、新しい変数を含む追加の句の「チェーン」をドラッグする必要があり、これらは他の変数の空間制約に干渉します。$3\text{-SAT}$$(3,k)\text{-LSAT}$$x_k$

きっと私はここで新しい領域にいるわけではない。削減できる既知のNP困難な問題はありか、それとも空間的な制約により問題が難しくなることはありませんか？$(3,k)\text{-LSAT}$

$(3,k)\text{-LSAT}$はすべての Pです。あなたが示したように、局所性はNP完全性の大きな障害です。$k$

これが多項式アルゴリズムです。

入力：、、ここでは番目の句です。 出力：すべての変数の割り当ての下でが1になる場合はtrue 。 手順：$\phi\in (3,k)\text{-LSAT}$$\phi=c_1\wedge c_2\cdots \wedge c_m$$c_i$$i$
$\phi$

1. 、少なくとも1つに現れる変数であるセットを作成します。$B_i$$c_i, c_{i+1}, \cdots, c_{i+k}$$1\le i\le m-k$
2. 構成セット。$A_i=\{f: B_i\to\{0,1\} \mid c_i, c_{i+1}, \cdots, c_{i+k} \text{ become 1 under} f\}$
3. 構成セット$E=\cup_i\{(f, g)\mid f\in A_i, g\in A_{i+1}, f(x)=g(x)\text{ for all }x\in B_i\cap B_{i+1} \}$
4. LET。有向グラフ考えます。各頂点について、縦型検索を開始して、頂点に到達できるかどうかを確認します。見つかった場合はtrueを返します。$V=A_1\cup A_2\cdots\cup A_{m-k}$$G(V,E)$$A_1$$G$$A_{m-k}$
5. ここに到達した場合は、falseを返します。

上記のアルゴリズムの正確さは、次の主張から来ています。

請求。 isはの頂点から頂点へのパスがあります。証明。 " "：割り当てでが1になると仮定します。みましょう制限することに。次に、パスます。 " "：パスとします。ここで、およびです。割り当てを定義$\phi$$\Longleftrightarrow$$G$$A_1$$A_{m-k}$

$\Longrightarrow$$\phi$$f$$f_i$$f$$B_i$$f_1, \cdots, f_{m-k}$
$\Longleftarrow$$f_1, \cdots, f_{m-k}$$f_1\in A_1$$f_{m-k}\in A_{m-k}$$f$がすべてのと一致するような、つまり場合、。が明確に定義されていることを確認できます。以来いくつかのために1になりすべてのために、下の1になり。$f$$f_i$$f(x)=f_i(x)$$x\in B_i$$f$$c_\ell$$f_j$$\ell$$\phi$$f$

頂点の数。したがって、このアルゴリズムは、節数のと変数総数の多項式時間で実行されます。$|V|\le 2^{3(k+1)}(m-k)$$m$$n$