ツリーの線形時間ラベル付けアルゴリズム？

頂点にラベルを付けたい無向ツリーがあります。リーフノードには1つのラベルを付ける必要があります。次に、葉が取り除かれたと仮定します。残っているツリーでは、葉に2つのラベルを付ける必要があります。このプロセスは、すべての頂点にラベルが付くまで明白な方法で続きます。これを行う理由は、頂点をキューに保存し、それらを「最初に残す」ことです。この時間を実行する簡単な方法はありますか？$O(n+m)$

すべてのステップでBFSを実行することで問題を解決できます。しかし最悪の場合、すべてのステップですべての頂点を通過し、ちょうど2つのリーフを削除してキューに入れます。これには二次時間がかかると思います。

別のアイデアは、最初にすべての葉を見つけ、次にすべての葉からBFSを実行することでした。これは私に望ましい解決策を与えません。たとえば、次の図のような「クラウングラフ」の種類を考えます。目的のソリューションが示されていますが、各リーフからBFSを起動すると、2つのラベルのみが使用されます。

理想的には、線形時間アルゴリズムの説明と実装も簡単です。

根のない木

優先キューを使用して、これを解決できます。$O(E+V\log V)$

• すべての頂点を優先度キューに入れます。優先度は次数です。
• キューが空でない間：
  • 最小優先度の頂点を削除します。これは1（または最後に0）でなければなりません。$v$$1$$0$
  • してみましょう、どこuはすべて乗り越えて、元の隣人V。$\sigma(v) = 1 + \max \sigma(u)$$u$$v$
  • u（存在する場合）の一意の残りのネイバーの優先度からを引きます。$1$$u$

実際、優先度キューは実際には必要ありません。このアルゴリズムは、時間単純なキューを使用して実装できます。$O(E+V)$

• すべての頂点の次数で長さ配列を初期化します。$V$
• 「アライブ」で長さ別の配列を初期化します。$V$
• 最初の配列を1回通過し、次数すべての頂点をキューにプッシュします。$1$
• キューが空でない間：
  • 頂点ポップします。$v$
  • してみましょう、どこuは、すべての元隣人を乗り越え、V。$\sigma(v) = 1 + \max \sigma(u)$$u$$v$
  • を「デッド」としてマークします。$v$
  • に「生きた」近傍uがある場合、uの次数から1を引きます。$v$$u$$1$$u$
  • の新しい次数が1の場合、uをキューにプッシュします。$u$$1$$u$

根付きの木

代わりにDFSを使用してください。これがアルゴリズムのスケッチです。

• ノード与えられ、vがリーフの場合、d （v ）= 1に設定します。$v$$v$$d(v) = 1$
• がリーフでない場合、すべての子に対してアルゴリズムを実行し、d （v ）= 1 + max d （u ）とします。ここで、uはすべての子のセットを調べます。$v$$d(v) = 1 + \max d(u)$$u$

ルートでこのアルゴリズムを実行します。

簡単な答えは次のとおりです。

• $(u,v)$$u$$v$

• グラフをトポロジ的にソートします。

• $v$$v$

$O(n+m)$$O(n+m)$