初期状態/受け入れ状態が異なる2つのDFAが受け入れる言語の違いは何ですか？

最近、Math SE について質問しました。まだ応答がありません。この質問はその質問に関連していますが、コンピュータサイエンスに関する技術的な詳細です。

2つのDFAが与えられた場合およびここで、状態のセット、入力アルファベット、および遷移関数とは同じで、初期状態と最終（受け入れ）状態が異なる場合があります。してみましょうおよび言語が受け入れられると $A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$ $B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$ $A$ $B$ $L_1$ $L_2$ $A$ それぞれ $B$

4つのケースがあります。

および。 $q_1 = q_2$ $F_1 = F_2$
および。 $q_1 \neq q_2$ $F_1 = F_2$
および。 $q_1 = q_2$ $F_1 \neq F_2$
および。 $q_1 \neq q_2$ $F_1 \neq F_2$

私の質問は

ケース2、3、4のとの違いは何ですか？ $L_1$ $L_2$

この線に沿って、より具体的な質問があります。

オートマトンの遷移モノイドは、入力文字列によって引き起こされる状態のセットのすべての関数のセットです。詳細については、ページを参照してください。遷移モノイドは、状態のセットに作用するモノイドと見なすことができます。詳細については、このWikiページを参照してください。

多くの文献では、モノイドアクションが推移的である場合、つまり、ある状態から別の状態への少なくとも1つの遷移（入力文字列）がある場合、オートマトンは強く接続されていると呼ばれます。

場合と強くオートマトンに接続されている、の違いは何であり及び上ケース2、3及び4は？ $A$ $B$ $L_1$ $L_2$

これらの問題を詳細に論じている文献はありますか？

私は多くの本や記事を検索しましたが、これまでのところ役に立たないものがあります。まだ適切なキーワードが無いと思います。したがって、私は助けを求めています。ポインタ/参照は非常に高く評価されます。

formal-languages reference-request finite-automata

— scaaahu
ソース

「違いは何ですか」とはどういう意味ですか？あなたはかどうか知りたい

と

がケース2、3、4で異なる可能性があるですか？

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— Hendrik Jan

@HendrikJan以下のShaullの回答を読むと、

と

が異なる可能性があることがわかります。（彼は

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

と

）。それらが異なる必要があるかどうかはわかりません。それは私の質問の一部です。「違いは何ですか？」と尋ねました。私はそれらが異なる必要があることを示唆していませんでした。

L (A)

$L(A)$

L (B)

$L(B)$

— scaaahu 2013年

以来、強く接続され、次いで場合、単語が存在し、その結果 $A,B$ $q_1\neq q_2$ $p_1,p_2$ $\delta(q_1,p_1)=q_2$ 及び。 $\delta(q_2,p_2)=q_1$

ケース2は、検討 IFF $w\in L(A)$ 、および $p_2w\in L(B)$ IFF。したがって、プレフィックスを追加して言語を切り替えることができます。 $x\in L(B)$ $p_1 x\in L(A)$

ケース3を考えてみてください-そこには多くても強力な接続性があります言葉すべてのためにこのようなことをあなたはその持っている $|F_1|$ $s_1,...,s_k$ $q_i\in F_1$ 、及び同様に他の方向について（からへの）。 $\delta(q_i,s_i)\in F_2$ $B$ $A$

したがって、サフィックスを作成して言語を切り替えることができます。

これらを組み合わせて、プレフィックスとサフィックスを使用して違いを特徴付けることができます。例えば、ケース4では、 IFF $w\in L(B)$ にいくつかについては、所定の有限集合です。 $p_1 w s_i$ $L(A)$ $s_i$

実際、これらの単語について興味深いことを言うこともできますをDFAとして定義します。ここで、は初期状態で、は最終状態です。 $C$ $q_1$ $q_2$ （他の方向についても同様）。 $L(B)=L(C)\cdot L(A)$

サフィックスについては、どの最終状態で終了するかを事前に決めることができないため、物事はより複雑になります。私は必ず連結として、これを書くことができないんだけど、あなたは書くことができるからDFAを得られる $L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$ $A_q$ $A$ 設定する、およびは、最終状態でから始まるDFAです。 $F=\{q\}$ $E_q$ $q$ $F_2$

ケース4の場合、2つを組み合わせることができます。

これは本当の答えではなく、単に状態ではなく単語を使用したプロパティの特性化であると心配するかもしれませんが、これはこの分野の典型的な答えです（Myhill-Nerodeの定理と同様）。

— シャウル
ソース

私はあなたの答えを理解しています。私の問題は、たとえばそのような

は一意ではない、つまり

で

ような多くの

があることです。したがって、

と

の違いには多くの接頭辞があります。

p_{1}

$p_1$

p_{1}

$p_1$

δ (q_{1}, p_{1}) = q_{2}

$\delta(q_1,p_1) = q_2$

L (A)

$L(A)$

L (B)

$L(B)$ 。より正確な答えはありますか？

— scaaahu 2013年

私はいくつかのより正確な情報で回答を編集しました。

— Shaull、2013年

私はそのDFA

アイデアが本当に好きです

C

$C$ です。ケース3と4への対処方法はおおまかにわかっていると思います。ありがとうございました。この回答を受け入れるまでしばらく待ちます。

— scaaahu 2013年

投稿の追加の編集に注意してください。

— Shaull、2013年

良いアイデア。あなたは一度に一つの最終的な状態を取り、それから組合を取ります。私の解釈が正しいことを願っています。

— scaaahu 2013年