無理数を含む言語はCFLではありません

教科書でハードなエクササイズをしているのですが、どうすればいいのか分かりません。ここに問題があります。我々は言語があると$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$$\gamma$いくつかの無理数です。$L$が文脈自由言語ではないことをどのように証明しますか？

$\gamma$が合理的である場合、その言語を受け入れる文法を構築するのはかなり簡単です。しかし、$\gamma$は不合理なので、どうすればいいかわかりません。ここでは、ポンピングレンマが機能するようには見えません。おそらく、この言語には半線形のパリキイメージが付属していないように直感的に見えるため、パリキの定理はここで機能します。

この演習は、第4章の演習25、Jeffrey Shallitによる「形式言語とオートマトン理論の第2コース」からのものです。

私は本当にどんな助け、または正しい方向への微調整に感謝します。ありがとうございました！

場合パリークの定理によれば、$L$文脈自由し、次いで集合は$M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$であるsemilinearであろう、それはフォームの有限個の集合の和集合であろう$S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$、一部の$u_i = (a_i,b_i)$。

明らかに$u_0 \in M$、しかも$u_i \in M$それぞれについて、$i > 0$、そうでない$u_0 + N u_i \notin M$十分な大きさのために$N$。したがって、$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$ので（$g(S)$合理的です）。この手段は、そのすべての$(a,b) \in S$を満たす$a/b \leq g(S)$。

ここで、$M$が$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$の和集合であるとし、$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$を定義します。上記番組毎にその$(a,b)$組合満たすに/ B ≤ G < γ$a/b \leq g < \gamma$、我々は以来、矛盾を得る$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$。

---

場合$\gamma$合理的であり、証明に失敗し、そして実際$M$ semilinearある：

$$\{ (a,b) : a \leq \tfrac{s}{t} b \} = \bigcup_{a=0}^{s-1} (a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil) + \mathbb{N} (s,t) + \mathbb{N} (0,1).$$ 実際、構成によって、任意のペア$(a,b)$右側に満たす$a \leq \tfrac{s}{t} b$（$s = \tfrac{s}{t} t$）。逆に、その仮定$a \leq \frac{s}{t} b$。ながら≥S及びB≥tは、減算（S、T）から（、Bを）。最終的には<S（以降B<Tが意味A≤秒$a \geq s$$b \geq t$$(s,t)$$(a,b)$$a < s$$b < t$$a \leq \frac{s}{t}b < s$）。以来≤sの$a \leq \frac{s}{t} b$必ずしも、$b \geq \lceil \tfrac{t}{s} a \rceil$。したがって我々は、引くことができる$(0,1)$から$(a,b)$我々が到達するまで$(a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil)$。

この回答の$\gamma$を除くすべての変数は、正の整数を表します。非合理的な$\gamma>0$が与えられると、有理数のシーケンスa 1があることはよく知られています。$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$よう私$\dfrac{a_i}{b_i}$に近いある$\gamma$よりも小さい任意の他の有理数より$\gamma$その分母未満である$b_i$。

---

ポンピング補題が機能することがわかりました！

矛盾を避けるために、$p$文脈自由言語としての$L$のポンピング長とする。してみましょう$s=a^{a_p}b^{b_p}$、ある単語$L$が、 "ほとんどの"。なお$|s|>b_p\ge p$。考えてみましょう $s=uvwxy$どこ、$|vx|> 1$および$s_n=uv^nwx^ny\in L$すべてのため$n\ge0$。

ましょう$t_a$と$t_b$数であり、S及びBにおけるS V xはそれぞれ。$a$$b$$vx$

• もし$t_b=0$または$\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$、のための$n$十分な大きさ、数の比とSBにおけるSSnがより大きくなるγすなわち、sはN∉L。$a$$b$$s_n$$\gamma$$s_n\not\in L$
• そうでなければ、$\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$。以降$t_b<b_p$、$\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$。したがって、 $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$ ので$b_p-t_b<b_p$、P-TA$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$ それは言う$s_0\not\in L$。

上記の矛盾は、$L$が文脈自由ではないことを示しています。

---

次に、2つの関連する簡単な演習を示します。

運動1.示すこと$L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$文脈自由でない$\gamma$無理数です。

運動2.示すこと$L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$文脈自由である$\gamma$有理数です。