DFA最小化のためのBrzozowskiのアルゴリズムの証明？

Brzozowkiのアルゴリズムは広く引用されています。ここでのいくつかの質問は、例を示したり、その複雑さを議論したりします。しかし、アルゴリズムの正当性の証明を見つけることができませんでした。それが正しいことをどのように証明しますか？CSの学部生が利用できる証拠があれば大歓迎です。

ブロゾフスキーの結果の証明は技術的ですが、それほど複雑ではありません。実際、必要な最小限の結果を得るためには、逆決定の1つのシーケンスを考慮するだけで済みます。（逆決定の最初のシーケンスは、元の言語の逆の決定論的FSAにつながります。最小性の証明は、2番目の逆決定の場合です。）

最初に、関係するさまざまなオートマトンについての良い見方が必要です。そして鋼の神経。

ブロゾフスキーの建設。 しましょう$A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ 言語の決定論的オートマトンであること $L=L(A)$。すべての州が$Q$ 初期状態から到達可能 $q_0$。

最初のステップでは、オートマトンを逆にします。すべてのエッジが反転され、初期状態と最終状態が入れ替わります。非公式には、オートマトンを取得します$\mathrm{rev}(A) = (Q, \Sigma, \delta^{-1}, F, q_0)$。

2番目のステップでは、標準の構造によって、そのようにして得られたオートマトンを決定しますが、到達可能な状態のみを維持します。我々が得る$A'= \mathrm{det}(\mathrm{rev}(A)) = (Q', \Sigma, \delta', q'_0, F')$。の状態$A'$ の状態のセットです $\mathrm{rev}(A)$： $Q'\subseteq 2^Q$; 初期状態は、$\mathrm{rev}(A)$、これはの最終状態です $Q$： $q'_0 = F$; の最終状態$A'$ の最終状態を含む状態です $\mathrm{rev}(A)$： $U\in F'$ iff $q_0\in U$。

証明の鍵は、オートマトン間の次の重要な関係です $A$ そして $A'$。

基本的な観察： $q\in \delta'(X,w^R)$ iff $\delta(q,w) \in X$。

証明（片面のみ）。$q\in \delta'(X,w^R)$ 州が存在する場合 $p$ に $X$ とからのパス $p$ に $q$ に $\mathrm{rev}(A)$ ラベル付き $w^R$。しかし、それは$q$ に $p$ ラベル付き $w$ に $A$、または $\delta(q,w) = p$; したがって$\delta(q,w) \in X$。証拠の終わり。

発表されたように、これは私たちが必要とする本質的な特性を証明するために使用されます。

プロパティ： $A'$最小限です（そして$L^R$）。

証明。しましょう$U$ そして $V$ の2つの州である $A'$それを区別することはできません。これは、任意の文字列について$w^R$ 我々は持っています $\delta'(U,w^R) \in F'$ iff $\delta'(V,w^R) \in F'$。今見せます$U$ そして $V$ 等しいです。

の構築によって $F'$ 私たちは区別できないことを次のように言い換えることができます $\delta'(U,w^R) \ni q_0$ iff $\delta'(V,w^R) \ni q_0$。

基本的な観察を適用すると、 $\delta(q_0,w) \in U$ iff $\delta(q_0,w) \in V$。

この平等から $U=V$ 以下のすべての州として $Q$ 到達可能であると見なされるため、どの状態でも $p$ に $U$ または $V$ ひもがあります $w$ そのような $p = \delta(q_0,w)$。 証拠の終わり。

しかし、証明した後でも、結果はまだ本当の魔法です！