を満たす2つの関数

19

二つの機能構築満足します： $f,g: R^+ → R^+$

は連続的です。 $f, g$
は単調に増加しています。 $f, g$
と。 $f \ne O(g)$ $g \ne O(f)$

asymptotics landau-notation

— ジェシー
ソース

2

そのような機能が存在しない可能性を考慮しましたか？

— jmite

両方が対数指数の場合、

または

いずれかです。実際に遭遇するほとんどの機能はこの形式です。

f, g

$f,g$

f = O (g)

$f=O(g)$

g = O (f)

$g=O(f)$

— ユヴァルフィルマス

16

そのような関数には多くの例があります。おそらく、このような例を取得する方法を理解する最も簡単な方法は、手動で構築することです。

自然数は実数まで連続的に完成できるため、自然数の関数から始めましょう。

およびを確保する良い方法は、それらの桁を交互に切り替えることです。たとえば、次のように定義できます $f\neq O(g)$ $g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

次に、オッズとイーブンでが反対に振る舞う可能性があります。ただし、これらの関数は単調に増加しないため、これは機能しません。 $g$

ただし、選択はややarbitrary意的であり、単調性を持たせるために単純に大きさを増やすことができます。このようにして、私たちは次のことを思いつくかもしれません。 $n,n^2$

、 $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$ $g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

明らかにこれらは単調関数です。また、、奇数の整数でははように振る舞い、はように振る舞うため、そして、その逆も同様です。 $f(n)\neq O(g(n))$ $f$ $n^{2n}$ $g$ $n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

ここで必要なのは、それらを実数に完成させることです（たとえば、整数間に線形部分を追加することにより、これは本当に重要です）。

また、このアイデアが得られたので、とが振動し、交互の点でピークになるため、三角関数を使用してそのような関数の「閉じた式」を構築できます。 $\sin$ $\cos$

— シャール
ソース

私たちは、と言うことができる

と

？

および

は回答で定義されたとおりです。

f (n) \in O (n^{2 n})

$f(n) \in O(n^{2n})$

g (n) \in O (n^{2 n})

$g(n) \in O(n^{2n})$

f (n)

$f(n)$

g (n)

$g(n)$

— マヤンク

はい。私たちも、と言うことができる

（同様のため

よりも強い）、

。

f (n) \leq n^{2 n}

$f(n)\le n^{2n}$

g

$g$

O

$O$

— シャール

-3

私にとって良い例は次のとおりです。http： //www.wolframalpha.com/input/？i = sin％28x％29％2B2x％2C + cos％28x％29％2B2x

f (n) = 2 x + s i n (x)

$f(n) =2x+sin(x)$

g (n) = 2 x + c o s (x)

$g(n) =2x+cos(x)$

f \neq O (g)

$f\neq O(g)$

g \neq O (f)

$g\neq O(f)$

— user15305
ソース

5

実際、それらは両方とも

です。

O

$O$

— カロリスJuodelė14年