長さ6、サイズ32、距離2のバイナリコードはありますか？

問題は、、st、存在を証明または反証することです ; ; 。（はハミング距離を表します）$C$$|c| = 6,\forall c\in C$$|C| = 32$$d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$$d$

私は満足のいくコードを作成しようとしました。私が得ることができる最高のようにすることですの連結サイズ16 32であり、今私ドン、上部のサイズの上限理論であることを起こります問題を解決するために次に何をすべきかわからない。$C = C'\times C'$$C' = \{000,011,110,101\}$

はい、そのようなセットがあります。あなたは実際に次の例を見つけるために正しい軌道に乗っています。

レッツ。以下を確認できます。$C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$

• $|C|=32$。
• $d(u,v)\geq2$、U 、V ∈ C U ≠ VのD （U 、V ）= 2すべての、。（実際、または4または6。）$u,v\in C$$u\not=v$$d(u,v)=2$

難易度の高い順に4つの関連する演習を示します。質問のように、関係するのはバイナリコードだけです。

演習1.長さが6、ペアワイズ距離が2以上の32ワードのセットの別の例を示します。

演習2.回答と演習1に示されているように、そのようなセットが2つしかないことを示します。

演習3.上記を一般化して、任意の長さおよびペアワイズ距離が少なくとも2である単語（ヒント、）。$32=2^{6-1}$

演習4.（Yuvalの回答でさらに一般化）が長さコードの最大サイズと最小のペアワイズ距離場合、。$A(n,d)$$n$$d$$A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

$2^{n-1}$コードワードと最小距離$2$線形コードからの偶数パリティのすべてのワード。

より一般的には、場合$A_2(n,d)$の長さのコードの最大サイズである$n$と最小距離$d$次いで、$A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$。