定数kが与えられた場合、ルートからリーフへのすべてのパスについて、そのノードのアリティの合計がkに等しい場合、最大のルート付きツリーを見つけますか？

例として、の場合に考えられるすべてのツリーを次に 示します。 各ノードには、アリティ（=子の数）が書き込まれます。$k=3$

これは動的プログラミングで解決できるはずですが、これには組み合わせの結果があったと思います（正確またはかなり細かい上限）。誰か知っていますか？

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ツリーのサイズは、ノードの数です。したがって、最大のツリーは、ノードの最大数を持つツリーになります。

ましょルートからリーフまでの各パスのアリティにまで追加最大ツリーのサイズである。$B(n)$$n$

そのようなツリーのルートにアリティがある場合、サブツリーのそれぞれのパスの合計はます。サブツリーは最適でなければならないため、ツリーのサイズはです。$k$$k$$n-k$$1+k\cdot B(n-k)$

以下のための、式わずかその発現最大限前回値用いて、。$B(n)$$k$$B(n-1), B(n-2),\dots$

私はこれを手作業で試してみましたが、（@ Sudixの助けを借りて）を見つけました。これはSloanes Online Encyclopedia of Integer SequencesのA239288のようです。そこで与えられた再帰は似ていますが、完全に同じではありません。$1,2,3,5,7,11,16,23,34,\dots$

シーケンスの説明は、「すべてのコンポジションx0 + ... + xk = nにおけるx0 + x0 * x1 + ... + x0 * x1 * ... * xkの最大合計」です。これは実際に同じシーケンスです。ルートからのパスに沿ったアリティのシーケンスがx0、x1、...、xkである場合、これらは合計してnになり、ノードの数は実際に与えられた式になります。

Sloaneの別のコメントは興味深いです：「n> = 8の場合、解は循環になります：a（3n + k）= 3 + 3a（3n-3 + k）」。これは、24より大きい値の場合、ツリーのルートには常に3つの子があることを示唆しているようです。