有向グラフの最大独立セットを見つける方法は？

私はこの問題を解決しようとしています。

問題：与えられた$n$ 正の整数、あなたの仕事は2つの数がないように整数の最大数を選択することです $a, b$ その中で $a$ で割り切れる $b$。

最大独立セットとこのセットのサイズを見つける必要があります。サイズは、ケーニッヒの定理によって見つけることができます。しかし、どのようにして最大独立セットを見つけることができますか（つまり、どの頂点がセットの一部であるか）。

私もいくつか検索をして、ここで何かを見つけました：

If removing a vertex does not change minimum path cover then I can get the desired result without that vertex.

しかし、私は根本的な定理を理解していません。どんな助けも大いに役立ちます。

与えられた整数のサブセットと分割可能関係によって定義されたposet の幅を見つけようとしています。幅は posetで比類のない要素の最大セットと同じである抗チェーンの最大数です。

これは、比較可能性グラフの最大独立セットに正確に対応します。各整数は頂点であり、エッジが存在します。$u$ に $v$ もしそうなら $u$ 割る $v$。

一般に最大独立セットを見つけることは難しい問題ですが、比較可能性グラフは、効率的なアルゴリズムが存在する特殊なケースです。

ディルワースの定理は、任意のposetの幅を、posetをチェーン（有向比較可能性グラフのソースからシンクへのパス）に分割したものとして特徴付けます。ディルワースの定理は、バイパートマッチングに関するケーニッヒの定理に相当します。これは、提案したように、アルゴリズムを導きます。ケーニッヒの定理を使用し、2部マッチングを介して最大独立セットを見つけるために作成する2部グラフは、上記のWikipediaリンクに簡単に説明されています。完全を期すために、ここに（注釈付きの形式で）含めます。

「二部グラフを定義する $G = (U,V,E)$ どこ $U = V = S$ [整数のセット]および（u、v）はエッジ $G$ いつ $u < v \in S$ [整数 $u$ 整数を割ります $v$]。ケーニッヒの定理により、一致が存在します$M$ に $G$、および頂点のセット $C$ に $G$、グラフの各エッジに少なくとも1つの頂点が含まれる $C$ など $M$ そして $C$ 同じカーディナリティを持っている $m$。

「ましょう $A$ の頂点に対応しないSの要素のセット $C$; その後$A$ 少なくとも持っています $n - m$ 要素（もしあれば $C$バイパーティションの両側の同じ要素に対応する頂点が含まれます）。しましょう$P$ 含むことによって形成されるチェーンのファミリーであること $x$ そして $y$ エッジがあるときはいつでも同じチェーンで $(x,y)$ Mで$; then$P$has$n-m $チェーン。したがって、アンチチェーンとパーティションを同じカーディナリティのチェーンに構築しました。」

の一連の異なる頂点ラベル（整数） $A$ あなたの質問に対する答えです。

IkizとGargによるDilworthのチェーンパーティションのオンラインアルゴリズムのセクション3 では、チェーンパーティションを計算するための2つの異なるオフラインアルゴリズムについて説明しているため、探している独立したセットについても説明しています。アルゴリズムの1つは、Bipartiteマッチング法に基づいています。