単純なグラフの2つのスパニングツリーには、常にいくつかの共通エッジがありますか？

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いくつかのケースを試してみましたが、単純なグラフの2つのスパニングツリーには共通のエッジがあることがわかりました。これまでのところ、反例は見つかりませんでした。しかし、私はこれを証明または反証することもできませんでした。この推測を証明または反証する方法は？

graphs graph-theory spanning-trees

— シグマ氏。
ソース

46

いいえ、完全なグラフ検討して。 $K_4$

次のエッジ分離スパニングツリーがあります。ここに画像の説明を入力してください

— ビヨン・ジョス・ハンセン
ソース

2

1つを字型、もう1つを字型にすることで、各ツリーを平面にすることができます。右上の頂点から左下の頂点までエッジを正方形の外側に向かう曲線として描くことにより、全体を平面にすることができます。

N

$N$

Z

$Z$

— 累積

@kelalaka我々はしていない必要な完全グラフを、なし（上の事のこの同じ種類をやって想像 -私は私の推測を見逃していない限り、あなたはそれがもはや完全になっていない、削除することができ、いくつかの未使用のエッジを持っている（理由は各頂点には2〜4個のトラバースエッジが接続されている必要があり、各頂点には使用可能なエッジが5つあるため、各頂点は少なくとも1つの未使用エッジにアタッチされます）。はおそらく最良の例です。よく知られ、視覚化が容易で（比較的少ないエッジ）、非常に単純なスパニングツリーがあります。

K_{5}

$K_5$

K_{5}

$K_5$

K_{4}

$K_4$

— ファンドモニカの訴訟

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より興味のある読者のために、グラフをエッジ分離のスパニングツリーに分解する研究がいくつかあります。

例えば、古典的な論文にグラフの分解問題について接続された要因 $n$ WT TUTTEにより有限グラフのスパニングツリーエッジ互いに素 C. St.JAナッシュウィリアムズによっては含まれていたグラフの特性を提供ペアワイズのエッジばらばらにスパニングツリー。 $k$

たとえば、Dalibor Froncekによる完全なグラフのスパニングツリーへの2サイクル分解の論文は、完全なグラフを同形スパニングツリーに分解する方法を示しています。 $K_{4k+2}$ ${2k+1}$

たとえば、PeterKovářとMichael Kubesaによる論文「完全なグラフのすべての可能な最大次数をもつスパニングツリーへの因数分解」は、を与えられた最大次数のスパニングツリーに因数分解する方法を示しています。 $K_{2n}$

さらに検索できます。たとえば、グラフをスパニングツリーに分解するためのGoogle検索。

— Apass.Jack
ソース

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$K_4$

いいえ、グラフの2つのスパニングツリーに共通のエッジがあることは事実ではありません。

ホイールグラフを考えます。

ループの「内側」と外側のループからのエッジを持つスパニングツリーを作成できます。

— ゴクル
ソース

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しかし、外側ループは中央ノードに達していない

— AMI

あなたは正しい、私は他の1つで十分なので、この答えを削除します。

— Gokul

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これを修正するには、outループから「コード」と「半径」とその補数を差し引いてください。

— boboquack

はい。実際、私はそのようにしか見ていませんでした。@boboquack

— ミスターシグマ。

3

$K_n$ $n\geq4$

$2$

$K_n$ $n\geq4$ $n\geq4$ $2$

$2$

$2$ $2$
辺がばらばらのスパニングツリーを持つサブグラフとして、ホイールまたはホイール以外のグラフはありますか？

— シグマ氏。
ソース

これらの質問およびそれ以上は、私が引用した論文で回答されています。興味があれば、ご覧ください。

— Apass.Jack

ありがとう@ Apass.Jackあなたの答えを見ました。それを見ます。

— シグマ氏。

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$K_{2k}$

G_{1} = {(v_{2 i}, v_{2 i + 1}), (v_{2 i}, v_{2 i + 2}), \dots, (v_{2 k - 2}, v_{2 k - 1})},

$G_1 = \{ (v_{2i},v_{2i+1} ),(v_{2i},v_{2i+2}),\dots,(v_{2k-2},v_{2k-1})\},$

G_{2} = {(v_{2 i + 1}, v_{2 i + 2}), (v_{2 i}, v_{2 i}), \dots (v_{2 (k - 1)}, v_{2 (k - 1)})}

$G_2 = \{ (v_{2i+1},v_{2i+2}),(v_{2i},v_{2i}),\dots(v_{2(k-1)},v_{2(k-1)})\}$

$0\leq i < k$

$n$ $n+1$

— 蓄積
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グラフにブリッジ（つまり、削除によってグラフが切断されるエッジ）がある場合、このエッジはすべてのスパニングツリーに属している必要があります。直感的には、ブリッジは2つのエンドポイントを接続する唯一のエッジであるため、接続されているすべてのサブグラフに必ず属します。

一方、グラフのエッジがサイクルに属している場合、このエッジを含まないスパニングツリーが存在します。

したがって、グラフのすべてのエッジがサイクルに属している場合、すべてのスパニングツリーに共通するエッジはありません（つまり、スパニングツリーのエッジセットの共通部分は空のセットです）。

— mo2019
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