ピクセル内で複数のランダムサンプルを使用するアンチエイリアシングの基本的な理由は何ですか？

グラフィックスでは、ピクセルの境界内で複数のサンプルを取得し、それらを組み合わせて（一般的には単に平均化して）最終サンプルピクセルカラーにするのが一般的です。これには、画像のアンチエイリアシングの効果があります。

あなたが効果的にやっているのは、ピクセルが表す領域にピクセルの色を統合しているからです。この考え方では、モンテカルロ統合を行うには、「ランダムな」サンプルを平均化することが理想的な設定のようです。（「ランダム」は成層化、ブルーノイズベース、低不一致シーケンスなど）

一方、これは、デジタル信号処理の観点からは間違っている（または、少なくとも可能な限り正確ではない）と感じています。その観点から、多くのサンプルを取得し、ボックスフィルター（ボックスブラー）を使用してダウンサンプリングし、最終的なピクセル値を取得しているように感じます。その観点から、サンプルを平均化するのではなく、sincフィルターを使用することが理想的なようです。ボックスフィルターは、これらの線に沿ったsincの考え方に対するより安価な近似であることがわかりました。

これにより、少し混乱します。ピクセル領域を統合し、平均化が正しいというコアアイデアはありますか？または、ダウンサンプリングしてsincを使用する必要がありますが、高速なのでボックスフィルターを使用していますか？

それともまったく別のものですか？

少し関連：レイトレーシングのアンチエイリアシング/フィルタリング

信号処理の観点から見ると、連続領域信号をサンプリングしているので、ナイキスト制限を超える周波数を取り除くためにそれをフィルタリングする必要があります。フィルタリングは、ピクセル領域全体の統合につながります。より一般的には、アンチエイリアスカーネル（ボックスである必要はありません）のサポート全体に統合されます。

画面空間のサンプルポイントし、そのポイントで見つかった色を返すレンダリング関数を考えてみましょう。（現時点ではランダムサンプリングの問題を無視し、その特定のポイントに対して「完全な」レンダリングカラーを返すと仮定します。）この関数は、2D連続領域信号を効果的に定義します。別の言い方をすれば、この関数が任意の小さなスケールでフィーチャを持つことを妨げるものは何もないため、無限解像度の画像を定義します。周波数領域に関して：関数は帯域制限されていません。任意の高い空間周波数の成分を含めることができます。$x, y$

ここで、有限のピクセル数に変換する必要があります。オーディオ信号をデジタル化するのと同じように、サンプリングするときに、サンプリングレートによって課されるナイキスト制限を超える周波数を最初に除去しない限り、エイリアシングが発生します。つまり、ピクセルグリッドよりも小さいフィーチャを削除する必要があります。これを行うには、ローパスフィルターを適用します。理想的な低域通過フィルタは、sinc関数であるが、実用の様々な理由のために我々は（完全ナイキスト限界を超えて周波数を除去、しかし、彼らは、少なくともそれらを減衰していない）他のフィルタを使用します。

$f(x, y)$$k(x, y)$

画像は安全にサンプリングできるため、ピクセル座標でを評価するだけで最終的なピクセル値を取得でき。$f_\text{filtered}$

場合のように見えるボックスフィルタであり、の画素箱と内の他の場所、この簡素化は、単に統合するピクセルボックス上を。ただし、前述のように、ボックスフィルターはそれほど優れておらず、テントフィルター、バイキュービックフィルター、ガウスフィルターなどの選択肢があります。$k$$k = 1$$k = 0$$f$

とにかく、積分ができたので、モンテカルロを使用して、照明、モーションブラーなど、他の必要な積分と組み合わせることができます。に従ってピクセル中心の周りに分布する各ピクセルのサンプルを生成することにより、積分の因子に重要度サンプリングを適用することもできます。$k$$k$

実際、あなたは両方のことをしています。エリアを統合し、結果がまだ離散サンプルであるため、信号を再構成して連続的な機能にします。したがって、高次フィルタリング。（また、人間の目は離散サンプラーなので、信号も再構築します）

この説明を理解するのにかなりの時間がかかりました。私を助けたのは、The Lore of TDsというタイトルの Tony Apodacaによる論文でした。