アフィン変換とは何ですか？

アフィン変換とは何ですか？それらはポイントだけに適用されますか、それとも他の形状にも適用されますか？「構成」できるということはどういう意味ですか？

アフィン変換は、線形変換+変換ベクトルです。

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

個々のポイント、ライン、またはベジェ曲線に適用できます。線の場合、平行線が平行のままであるというプロパティが保持されます。ベジェ曲線の場合、制御点の凸包特性が保持されます。

乗算アウトは、それが生じるため2次方程式を生成する"形質転換"対座標オリジナルペアからの（X 、Y ）と定数のリスト（、B 、C 、D 、E 、Fを）。 X ' = ⋅ X + C ⋅ Y + $(x', y')$$(x, y)$$(a, b, c, d, e, f)$

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

便利なことに、線形変換と平行移動ベクトルは、2D同次座標上で動作できる3Dマトリックスにまとめることができます。

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

上記と同じ2つの式が得られます。

非常に便利なことに、行列自体を乗算して、（定数の）3番目の行列を生成し、元の2が順番に実行するのと同じ変換を実行できます。簡単に言えば、行列の乗算は結合的です。

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

あるいは、いくつかの基本的な変換タイプを検討し、これらを組み合わせて（それらを掛け合わせて）より複雑な変換を作成できます。

アイデンティティ変換

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

スケーリング

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

翻訳

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

スキューx x y

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

yをxでスキュー

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

回転

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[注：左の行ベクトルを受け入れるMatrixの形式をここに示しました。これらの行列の転置は、右側の列ベクトルで機能します。]

スケーリング、回転、および並進から純粋に構成される行列は、これら3つのコンポーネントに分解できます。