BRDFが輝きの比率ではないのはなぜですか？

私はBRDFについて学び、BRDFが特定の方向に対する発信放射輝度と別の方向からの着信放射輝度の比率として定義される理由を知りたいと思っています。BRDFが放射輝度の比として定義されていないのはなぜですか？

この質問に答える方法はいくつかあります。代数的方法と幾何学的方法です。

代数的には、レンダリング方程式でBRDFの場所を調べることにより、BRDFに必要な単位を特定できます。古典的なレンダリング方程式は次のとおりです。

$$L_\text{outgoing}(\omega) = L_\text{emitted}(\omega) + \int_\Omega L_\text{incoming}(\omega') \, f_\text{BRDF}(\omega, \omega') \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$

左側の出力値は輝きなので、積分の結果も輝きでなければなりません。積分は、立体角を乗じた輝き含ま積分で何か他のものは、立体角の要因を相殺しているので、。N ⋅ ω "要因は無次元であり、唯一の他の事は全部の作業を行うためにBRDF-のであり、BRDFは逆立体角の単位を持っている必要があります。同様に、BRDFは、放射輝度の分母で立体角の係数が異なるため、放射輝度と放射輝度の比率と見なすことができます。$d\omega'$$n \cdot \omega'$

それを確認するもう1つの方法は、BRDFが確率密度と同様の役割を果たすことです。確率密度がどのように機能するかを見ると、ドメインのボリュームの逆数の単位があります。たとえば、1D確率密度は逆長さの単位（単位長さあたりの確率ですが、確率自体は無次元です）、2D確率密度は逆面積の単位などです。BRDFは半球で定義された確率密度のように機能し、特定の方向から入ってくる光子が他の方向に反射される可能性を与えます。したがって、球形ドメインの他の確率密度と同様に、逆立体角の単位があります。

幾何学的に、真ちゅうのタックに取り掛かり、レンダリング方程式の積分で起こっていることを分解できます。積分とは、ドメインを小さな断片に細分化し、すべての断片の積分値を合計することを思い出してください（断片が無限に小さくなるため、限界内で）。そのような一片を見てみましょう。被積分関数は、無限の放射輝度をもたらすはずです。これは、有限の出力放射輝度に到達するために多くのピースを合計するためです。したがって、積分の単一の極小部分は次のようになります。$dL$

$$dL = L_\text{incoming} \, f_\text{BRDF} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$

$L_\text{incoming} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$d\omega'$$dE$

$$dL = f_\text{BRDF} \, dE$$

または

$$f_\text{BRDF} = \frac{dL}{dE}$$

したがって、BRDFは、微小な立体角から表面に到達する微小な放射と、それによって生成される微小な放射との間の比例定数として機能します。入ってくる放射輝度は有限であり、積分の多くの部分を合計して有限の結果を得るには、微小な放射輝度が必要なので、それは放射輝度の比率にはなりません。これを実現するには、BRDFを無限小値にする必要があります。これは、標準の数学では...ことではありません。:)

これが役立つことを願っています。数学と物理学の非常に多くのものと同様に、この問題を調べるには、同等のさまざまな方法があります。