（とりわけ）粗い表面を通る屈折のマイクロファセットモデルのペーパーは、マイクロファセット分布関数Dに関する次の仮定を思い出させます。
1）分布密度が正の値である理由を理解できます。直感的に、2）傾斜したマイクロファセットの総面積がそれらの投影よりも小さくならないことを意味すると信じています。
しかし、私は3）の正当化を理解することは確かではありません。3番目の条件はどういう意味ですか？
回答:
これは他の2つの幾何学的仮定です。平らなマクロ表面を考えます。任意の方向における投影面積わずかであり回（その面積表面が正常です）。特に、法線に沿って見ている場合が最も簡単です。投影面積は表面の面積と同じです。
マクロ表面をマイクロファセットに分割します。マイクロファセットの総面積は少なくとも同じですが（仮定2）、表面の「ねじれ」はそれぞれ、別々のマイクロファセットの法線を元の法線から曲げます。マイクロファセットの形状が何であれ、それらの投影面積の合計は変化しません。法線に沿って見ている場合、総投影面積が同じであることが簡単にわかります。サーフェスを変更するには、サーフェスを大きくまたは小さくする必要があります。
どの方向でも、マイクロファセットは表面の元の投影領域の一部をカバーする必要があります。マイクロファセットの向きを変更しても、その部分を塗りつぶしても、その投影面積は変わりません。
1つのトリッキーなケースがあります。これは、マイクロファセットが互いに張り出している場合です。この場合、一部の領域が複数のマイクロファセットで覆われているため、合計領域は大きくなります。ただし、この場合、マイクロファセットの少なくとも1つは、最終的にはビュー方向から離れて表面に向かわなければなりません。この場合、内積は負になるため、複数のマイクロファセットで覆われている領域がキャンセルされます。これが、テキストが、それが署名された投影領域であることを明確にするために注意を払っている理由です。
もう1つのトリッキーなケースがあります。これは、マイクロファセットがオブジェクトのシルエットを超えて伸びる場合です。これは、非常に小さな角度から見ている場合や、張り出したファセットが表面の外周の外側に張り出した場合に発生する可能性があります。この場合、マイクロファセットの投影面積は大きくなり、3番目の仮定に違反します。通常、このケースは考慮していません。直感的には、バンプマッピングなどの手法はオブジェクトのシルエットの形状を変更しないという事実と一致します。