オイラー数 A(n, m)の順列の数であり、[1, 2, ..., n]正確にここでm要素が前の要素よりも大きいです。これらはライズとも呼ばれます。たとえば、の場合n = 3、3！= 6個の順列[1, 2, 3]

1 2 3
 < <  2 elements are greater than the previous

1 3 2
 < >  1 ...

2 1 3
 > <  1 ...

2 3 1
 < >  1 ...

3 1 2
 > <  1 ...

3 2 1
 > >  0 ...

以下のために出力し、A(3, m)ためmでは[0, 1, 2, 3]となります

A(3, 0) = 1
A(3, 1) = 4
A(3, 2) = 1
A(3, 3) = 0

また、これはOEISシーケンスA173018です。

ルール

• これはコードゴルフなので、最短のコードが優先されます。
• 入力nは負でmはない整数で、範囲内の整数になります[0, 1, ..., n]。

テストケース

n   m   A(n, m)
0   0   1
1   0   1
1   1   0
2   0   1
2   1   1
2   2   0
3   0   1
3   1   4
3   2   1
3   3   0
4   0   1
4   1   11
4   2   11
4   3   1
4   4   0
5   1   26
7   4   1191
9   5   88234
10  5   1310354
10  7   47840
10  10  0
12  2   478271
15  6   311387598411
17  1   131054
20  16  1026509354985
42  42  0

ゼリー、8 バイト

Œ!Z>2\Sċ

オンラインでお試しください！（少し時間がかかります）、またはより小さいテストケースを確認します。

使い方

Œ!Z>2\Sċ  Main link. Arguments: n, m

Œ!        Generate the matrix of all permutations of [1, ..., n].
  Z       Zip/transpose, placing the permutations in the columns.
   >2\    Compare columns pairwise with vectorizing greater-than.
          This generates a 1 in the column for each rise in that permutation.
      S   Compute the vectorizing sum of the columns, counting the number of rises.
       ċ  Count how many times m appears in the computed counts.

JavaScript（ES6）、50 46 45バイト

f=(n,m,d=n-m)=>m?d&&f(--n,m)*++m+f(n,m-2)*d:1

再帰式に基づいて：

A(n, m) = (n - m)A(n - 1, m - 1) + (m + 1)A(n - 1, m)    

テストケース

f=(n,m,d=n-m)=>m?d&&f(--n,m)*++m+f(n,m-2)*d:1

console.log(f( 0,  0));  // 1
console.log(f( 1,  0));  // 1
console.log(f( 1,  1));  // 0
console.log(f( 2,  0));  // 1
console.log(f( 2,  1));  // 1
console.log(f( 2,  2));  // 0
console.log(f( 3,  0));  // 1
console.log(f( 3,  1));  // 4
console.log(f( 3,  2));  // 1
console.log(f( 3,  3));  // 0
console.log(f( 4,  0));  // 1
console.log(f( 4,  1));  // 11
console.log(f( 4,  2));  // 11
console.log(f( 4,  3));  // 1
console.log(f( 4,  4));  // 0
console.log(f( 5,  1));  // 26
console.log(f( 7,  4));  // 1191
console.log(f( 9,  5));  // 88234
console.log(f(10,  5));  // 1310354
console.log(f(10,  7));  // 47840
console.log(f(10, 10));  // 0
console.log(f(12,  2));  // 478271
console.log(f(15,  6));  // 311387598411
console.log(f(17,  1));  // 131054
console.log(f(20, 16));  // 1026509354985
console.log(f(42, 42));  // 0

MATL、10バイト

:Y@!d0>s=s

オンラインでお試しください！

説明

例えば、入力として考えてみましょうn=3、m=1。あなたは置くことができ%、その時点からコードをコメントアウトするシンボルを、したがって、中間結果を参照してください。たとえば、リンクは最初のステップの後のスタックを示します。

:      % Input n implicitly. Push [1 2 ... n]
       % STACK: [1 2 ... n]
Y@     % Matrix of all permutations, one on each row
       % STACK: [1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1]
!      % Transpose
       % STACK: [1 1 2 2 3 3; 2 3 1 3 1 2; 3 2 3 1 2 1]
d      % Consecutive differences along each column
       % STACK: [1 2 -1 1 -2 -1; 1 -1 2 -2 1 -1]
0>     % True for positive entries
       % STACK: [1 1 0 1 0 0; 1 0 1 0 1 0]
s      % Sum of each column
       % STACK: [2 1 1 1 1 0]
=      % Input m implicitly. Test each entry for equality with m
       % STACK: [0 1 1 1 1 0]
s      % Sum. Implicitly display
       % STACK: 4

CJam（21 19バイト-または引数の順序が空いている場合は18）

{\e!f{2ew::>1b=}1b}

これはn m、スタックを取る匿名ブロック（関数）です。（m nスタックの取得が許可されている場合は、\保存できます）。すべての順列とフィルターを計算するため、オンラインテストスイートはかなり制限する必要があります。

の近似を指摘してくれたMartinに感謝しfilter-with-parameterます。

解剖

{        e# Define a block. Stack: n m
  \      e#   Flip the stack to give m n
  e!f{   e#   Generate permutations of [0 .. n-1] and map with parameter m
    2ew  e#     Stack: m perm; generate the list of n-1 pairs of consecutive
         e#     elements of perm
    ::>  e#     Map each pair to 1 if it's a rise and 0 if it's a fall
    1b   e#     Count the falls
    =    e#     Map to 1 if there are m falls and 0 otherwise
  }
  1b     e#   Count the permutations with m falls
}

オイラー数は対称的であることに注意してくださいE(n, m) = E(n, n-m)。

効率的に：32バイト

{1a@{0\+_ee::*(;\W%ee::*W%.+}*=}

オンラインテストスイート。

これにより、行全体に繰り返しが実装されます。

{          e# Define a block. Stack: n m
  1a@      e#   Push the row for n=0: [1]; and rotate n to top of stack
  {        e#   Repeat n times:
           e#     Stack: m previous-row
    0\+_   e#     Prepend a 0 to the row and duplicate
    ee::*  e#     Multiply each element by its index
           e#     This gives A[j] = j * E(i-1, j-1)
    (;     e#     Pop the first element, so that A[j] = (j+1) * E(i-1, j)
    \W%    e#     Get the other copy of the previous row and reverse it
    ee::*  e#     Multiply each element by its index
           e#     This gives B[j] = j * E(i-1, i-1-j)
    W%     e#     Reverse again, giving B[j] = (i-j) * E(i-1, j-1)
    .+     e#     Pointwise addition
  }*
  =        e#   Extract the element at index j
}

Python、55 56バイト

a=lambda n,m:n>=m>0and(n-m)*a(n-1,m-1)-~m*a(n-1,m)or m<1

repl.itでのすべてのテスト

OEISに再帰式を適用します。
に+(m+1)*a(n-1,m)ゴルフされていることに注意してください-~m*a(n-1,m)。
（1またはを表すブール値を0返すことTrueがn<0 and m<=0できm<0ます。またはを返します。）

Mathematica、59 56バイト

_~f~0=1
n_~f~m_:=If[m>n,0,(n-m)f[n-1,m-1]+(m+1)f[n-1,m]]

そして、これは定義をより文字通り実装している59バイトのバージョンです：

Count[Count@1/@Sign/@Differences/@Permutations@Range@#,#2]&

Python、53バイト

t=lambda n,k:n and(n-k)*t(n-1,k-1)-~k*t(n-1,k)or k==0

OEISからの再帰。ブール値Trueを1when として出力しn==kます。

MATLAB /オクターブ、40バイト

@(n,m)sum(sum(diff((perms(1:n))')>0)==m)

これは、匿名関数の形式でのMATL回答の移植版です。として呼び出しans(7,4)ます。

Ideoneでお試しください。

GameMaker Language、62バイト

これは、A@ Arnauldの式に基づいた再帰的なスクリプトです。

n=argument0;m=argument1;return (n-m)*A(n-1,m-1)+(m+1)*A(n-1,m)

Perl、98バイト

sub a{my($b,$c)=@_;return$c?$c>$b?0:($b-$c)*a($b-1,$c-1)+($c+1)*a($b-1,$c):1;}print a(@ARGV[0,1]);

Arnauldの答えと同じ特性に基づいています。

R、72バイト

OEISのロジックに従う再帰関数。

A=function(n,m)if(!m)1 else if(m-n)0 else(n-m)*A(n-1,m-1)+(m+1)*A(n-1,m)

この課題は、私が試したさまざまなアプローチの間に非常に近いことが判明しました。たとえば、ウィキペディアの式を使用して合計をループすると、92バイトになります。

function(n,m){s=0;if(!n)1 else for(k in -1:m+1)s=c(s,(-1)^k*choose(n+1,k)*(m+1-k)^n);sum(s)}

または87バイトのベクトル化バージョン：

function(n,m)if(!m)1 else sum(sapply(-1:m+1,function(k)(-1)^k*choose(n+1,k)*(m+1-k)^n))

最後に、permuteパッケージと関数を使用してすべての順列のマトリックスを生成するブルートフォースソリューション（103バイト）allPerms。n<8ただし、このアプローチは機能します。

function(n,m){if(!m)1 else sum(apply(rbind(1:n,permute:::allPerms(n)),1,function(x)sum(diff(x)>0))==m)}

ラケット141バイト

(count(λ(x)(= x m))(for/list((t(permutations(range 1(+ 1 n)))))(count
(λ(x)x)(for/list((i(sub1 n)))(>(list-ref t(+ 1 i))(list-ref t i))))))

ゴルフをしていない：

(define (f n m)
  (let* ((l (range 1 (add1 n)))                ; create a list till n
         (pl (permutations l))                 ; get all permutations
         (enl (for/list ((t pl))               ; check each permutation; 
                (define rl
                  (for/list ((i (sub1 n)))     ; check if an element is a 'rise'
                    (> (list-ref t (add1 i))
                       (list-ref t i))))
                (count (lambda(x)x) rl))))     ; how many numbers are 'rises'
    (count (lambda(x) (= x m)) enl)))          ; how many permutations had m rises
                                               ; i.e. Eulerian number

テスト：

(f 3 0)
(f 3 1)
(f 3 2)
(f 3 3)
(f 4 2)
(f 5 1)
(f 7 4)

出力：

1
4
1
0
11
26
1191

実際、21 19バイト

この回答では、デニスがジェリーの回答で使用しているものと同様のアルゴリズムを使用しています。元の定義は<、カウント中にカウントされます>。これは最終的に同等になります。ゴルフの提案を歓迎します。オンラインでお試しください！

;R╨`;\ZdX"i>"£MΣ`Mc

アンゴルフ

         Implicit input m, then n.
;        Duplicate n. Stack: n, n, m
R        Push range [1..n].
╨        Push all n-length permutations of the range.
`...`M   Map the following function over each permutation p.
  ;\       Duplicate and rotate p so that we have a list of the next elements of p.
  Z        Zip rot_p and p.
           (order of operands here means the next element is first,
            so we need to use > later)
  dX       Remove the last pair as we don't compare the last and first elements of the list.
  "i>"£    Create a function that will flatten a list and check for a rise.
  M        Map that function over all the pairs.
  Σ        Count how many rises there are in each permutation.
c        Using the result of the map and the remaining m, 
          count how many permutations have m rises.
         Implicit return.

スウィフト3、8288 バイト

func A(_ n:Int,_ m:Int)->Int{return m<1 ?1:n>m ?(n-m)*A(n-1,m-1)+(m+1)*A(n-1,m):0}

間違いなくゴルフ用ではない言語の同じ再帰式

J、28バイト

+/@((!>:)~*(^~#\.)*_1^])i.,]

数式を使用します

使用法

   f =: +/@((!>:)~*(^~#\.)*_1^])i.,]
   0 f 0
1
   1 f 0
1
   1 f 1
0
   (f"+i.,]) 6
1 57 302 302 57 1 0
   20x f 16x
1026509354985

説明

+/@((!>:)~*(^~#\.)*_1^])i.,]  Input: n (LHS), m (RHS)
                        i.    Range [0, 1, ..., m-1]
                           ]  Get m
                          ,   Join to get k = [0, 1, ..., m]
                      ]       Get k
                   _1^        Raise -1 to each in k
              #\.               Get the length of each suffix of k
                                Forms the range [m+1, m, ..., 2, 1]
            ^~                  Raise each value by n
                  *           Multiply elementwise with (-1)^k
    (   )~                      Commute operators
      >:                        Increment n
     !                          Binomial coefficient, C(n+1, k)
          *                   Multiply elementwise
+/@                           Reduce by addition to get the sum and return