正の整数Nを与え、ゲームオブライフルールで最長の非反復シーケンスを生成し、トーラスで再生される固定パターン（長さ1のサイクル）で終わるN x Nグリッドの開始パターンを決定します。

目標は最短のプログラムではなく、最短のプログラムです。

世界は有限であるため、最終的にはループに陥り、すでに訪れた状態を繰り返します。このループに期間1がある場合、開始パターンは有効な候補です。

出力：開始パターンとシーケンス内の一意の状態の総数（開始パターンを含む）。

現在、1x1トーラスは特別なものです。セルはそれ自体に隣接していると見なされているかどうかに関係ありませんが、実際には問題はありません。いずれの場合も、単一の生きているセルは（過密または孤独の）死ぬだけです。したがって、入力1は、長さが2のシーケンスを生成します。このシーケンスは、1つのセルが生き、その後は永遠に死んでいます。

この質問の動機は、忙しいビーバー機能に類似しているが、メモリに限界があるため、間違いなく複雑です。これは、OEISにも含めるのに適したシーケンスです。

N = 3の場合、シーケンスの長さは3で、左側のパターンは完全に黒い3x3正方形に達し、その後死にます。（1サイクルの一部であるすべてのパターンが削除されます）。

N = 6までのC ++

3x3 answer 3: 111 000 000                                                                                        
4x4 answer 10: 1110 0010 1100 0000                                                                               
5x5 answer 52: 11010 10000 11011 10100 00000                                                                     
6x6 answer 91: 100011 010100 110011 110100 101000 100000                                                         

この手法は、高速な次の状態関数を中心にしています。各ボードは、N ^ 2ビットのビットマスクとして表され、ビットトゥウィッドトリックを使用して、すべてのセルの次の状態を一度に計算します。 N <= 8のアセンブリ命令nextを約200 100 までコンパイルします。その後、標準のtry-all-states-until-they-repeatを実行して、最も長いものを選択します。

5x5までは数秒、6x6は数時間かかります。

#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define N 6

typedef uint64_t board;

// board is N bits by N bits, with indexes like this (N=4):                                                        
//  0  1  2  3                                                                                                     
//  4  5  6  7                                                                                                     
//  8  9 10 11                                                                                                     
// 12 13 14 15                                                                                                     

#if N==3
#define LEFT_COL (1 + (1<<3) + (1<<6))
#define RIGHT_COL ((1<<2) + (1<<5) + (1<<8))
#define ALL 0x1ffULL
#elif N==4
#define LEFT_COL 0x1111ULL
#define RIGHT_COL 0x8888ULL
#define ALL 0xffffULL
#elif N==5
#define LEFT_COL (1ULL + (1<<5) + (1<<10) + (1<<15) + (1<<20))
#define RIGHT_COL ((1ULL<<4) + (1<<9) + (1<<14) + (1<<19) + (1<<24))
#define ALL 0x1ffffffULL
#elif N==6
#define LEFT_COL (1 + (1<<6) + (1<<12) + (1<<18) + (1<<24) + (1ULL<<30))
#define RIGHT_COL ((1<<5) + (1<<11) + (1<<17) + (1<<23) + (1<<29) + (1ULL<<35))
#define ALL 0xfffffffffULL
#else
#error "bad N"
#endif

static inline board north(board b) {
  return (b >> N) + (b << N*N-N);
}
static inline board south(board b) {
  return (b << N) + (b >> N*N-N);
}
static inline board west(board b) {
  return ((b & ~LEFT_COL) >> 1) + ((b & LEFT_COL) << N-1);
}
static inline board east(board b) {
  return ((b & ~RIGHT_COL) << 1) + ((b & RIGHT_COL) >> N-1);
}

board next(board b) {
  board n1 = north(b);
  board n2 = south(b);
  board n3 = west(b);
  board n4 = east(b);
  board n5 = north(n3);
  board n6 = north(n4);
  board n7 = south(n3);
  board n8 = south(n4);

  // add all the bits bitparallel-y to a 2-bit accumulator with overflow
  board a0 = 0;
  board a1 = 0;
  board overflow = 0;
#define ADD(x) overflow |= a0 & a1 & x; a1 ^= a0 & x; a0 ^= x;

  a0 = n1; // no carry yet
  a1 ^= a0 & n2; a0 ^= n2; // no overflow yet
  a1 ^= a0 & n3; a0 ^= n3; // no overflow yet
  ADD(n4);
  ADD(n5);
  ADD(n6);
  ADD(n7);
  ADD(n8);
  return (a1 & (b | a0)) & ~overflow & ALL;
}
void print(board b) {
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    for (int j = 0; j < N; j++) {
      printf("%d", (int)(b >> i*N+j & 1));
    }
    printf(" ");
  }
  if (b >> N*N) printf("*");
  printf("\n");
}

int main(int argc, char *argv[]) {
  // Somewhere in the starting pattern there are a 1 and 0 together.  Using translational                          
  // and rotational symmetry, we can put these in the first two bits.  So we need only consider                    
  // 1 mod 4 boards.                                                                                               

  board steps[10000];
  int maxsteps = -1;
  for (board b = 1; b < 1ULL << N*N; b += 4) {
    int nsteps = 0;
    board x = b;
    while (true) {
      int repeat = steps + nsteps - find(steps, steps + nsteps, x);
      if (repeat > 0) {
        if (repeat == 1 && nsteps > maxsteps) {
          printf("%d: ", nsteps);
          print(b);
          maxsteps = nsteps;
        }
        break;
      }
      steps[nsteps++] = x;
      x = next(x);
    }
  }
}

次の可能な解決方法があります。

• 重い理論。トーラス上の生命に関するいくつかの文献があることは知っていますが、あまり読んでいません。
• ブルートフォースフォワード：可能なすべてのボードについて、そのスコアを確認してください。これは基本的にマシューとキースのアプローチが行うことですが、キースはチェックするボードの数を4分の1に減らします。
  • 最適化：正規表現。ボードがそのスコアを評価するよりもはるかに早く標準表現になっているかどうかを確認できれば、約8N ^ 2の係数の高速化が得られます。（より小さい等価クラスの部分的なアプローチもあります）。
  • 最適化：DP。各ボードのスコアをキャッシュして、収束または発散するまでウォークスルーするのではなく、前に見たボードが見つかるまでウォークスルーするようにします。原則として、これは平均スコア/サイクルの長さの要因（おそらく20以上）で高速化されますが、実際には大幅に交換される可能性があります。たとえば、N = 6の場合、スコアあたり1バイトで16GBの2 ^ 36スコアの容量が必要になります。また、キャッシュの局所性が期待できないため、ランダムアクセスが必要です。
  • 2つを組み合わせます。N = 6の場合、完全な正規表現により、DPキャッシュを約60メガスコアに減らすことができます。これは有望なアプローチです。
• 総当たり攻撃。これは最初は奇妙に思えますが、静物を簡単に見つけることができ、Next(board)機能を簡単に反転できると想定すると、当初期待していたほど多くはありませんが、いくつかの利点があることがわかります。
  • 分岐ボードについてはまったく気にしません。それらは非常にまれであるため、多くの節約にはなりません。
  • すべてのボードのスコアを保存する必要はありません。そのため、フォワードDPアプローチよりもメモリのプレッシャーが少ないはずです。
  • 静物を列挙するという文脈で文献で私が見たテクニックを変えることで、実際に逆方向に作業するのは非常に簡単です。これは、各列をアルファベットの文字として扱い、3文字のシーケンスが次世代の中央の文字を決定することを観察することによって機能します。静物の列挙との類似点は非常に近いので、それらを一緒にリファクタリングして、わずかに厄介なメソッドにしましたPrev2。
  • 静物を標準化して、わずかなコストで8N ^ 2の高速化を実現できるように思えるかもしれません。ただし、経験的に、各ステップで正規化を行うと、検討するボードの数が大幅に減少します。
  • ボードの驚くほど高い割合は2または3のスコアを持っているので、まだメモリのプレッシャーがあります。前世代を構築してからカノニカライズするのではなく、その場でカノニカライズする必要があることがわかりました。幅優先検索ではなく深さ優先検索を行うことでメモリ使用量を削減することは興味深いかもしれませんが、スタックをオーバーフローさせずに冗長な計算を行わずに行うには、以前のボードを列挙するためのコルーチン/継続アプローチが必要です。

マイクロ最適化によってKeithのコードに追いつくことはできないと思いますが、興味のために、私が持っているものを投稿します。これは、Mono 2.4または.Net（PLINQなし）を使用する2GHzマシンでは約1分で、PLINQを使用すると約20秒でN = 5を解決します。N = 6は何時間も実行されます。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace Sandbox {
    class Codegolf9393 {
        internal static void Main() {
            new Codegolf9393(4).Solve();
        }

        private readonly int _Size;
        private readonly uint _AlphabetSize;
        private readonly uint[] _Transitions;
        private readonly uint[][] _PrevData1;
        private readonly uint[][] _PrevData2;
        private readonly uint[,,] _CanonicalData;

        private Codegolf9393(int size) {
            if (size > 8) throw new NotImplementedException("We need to fit the bits in a ulong");

            _Size = size;
            _AlphabetSize = 1u << _Size;

            _Transitions = new uint[_AlphabetSize * _AlphabetSize * _AlphabetSize];
            _PrevData1 = new uint[_AlphabetSize * _AlphabetSize][];
            _PrevData2 = new uint[_AlphabetSize * _AlphabetSize * _AlphabetSize][];
            _CanonicalData = new uint[_Size, 2, _AlphabetSize];

            InitTransitions();
        }

        private void InitTransitions() {
            HashSet<uint>[] tmpPrev1 = new HashSet<uint>[_AlphabetSize * _AlphabetSize];
            HashSet<uint>[] tmpPrev2 = new HashSet<uint>[_AlphabetSize * _AlphabetSize * _AlphabetSize];
            for (int i = 0; i < tmpPrev1.Length; i++) tmpPrev1[i] = new HashSet<uint>();
            for (int i = 0; i < tmpPrev2.Length; i++) tmpPrev2[i] = new HashSet<uint>();

            for (uint i = 0; i < _AlphabetSize; i++) {
                for (uint j = 0; j < _AlphabetSize; j++) {
                    uint prefix = Pack(i, j);
                    for (uint k = 0; k < _AlphabetSize; k++) {
                        // Build table for forwards checking
                        uint jprime = 0;
                        for (int l = 0; l < _Size; l++) {
                            uint count = GetBit(i, l-1) + GetBit(i, l) + GetBit(i, l+1) + GetBit(j, l-1) + GetBit(j, l+1) + GetBit(k, l-1) + GetBit(k, l) + GetBit(k, l+1);
                            uint alive = GetBit(j, l);
                            jprime = SetBit(jprime, l, (count == 3 || (alive + count == 3)) ? 1u : 0u);
                        }
                        _Transitions[Pack(prefix, k)] = jprime;

                        // Build tables for backwards possibilities
                        tmpPrev1[Pack(jprime, j)].Add(k);
                        tmpPrev2[Pack(jprime, i, j)].Add(k);
                    }
                }
            }

            for (int i = 0; i < tmpPrev1.Length; i++) _PrevData1[i] = tmpPrev1[i].ToArray();
            for (int i = 0; i < tmpPrev2.Length; i++) _PrevData2[i] = tmpPrev2[i].ToArray();

            for (uint col = 0; col < _AlphabetSize; col++) {
                _CanonicalData[0, 0, col] = col;
                _CanonicalData[0, 1, col] = VFlip(col);
                for (int rot = 1; rot < _Size; rot++) {
                    _CanonicalData[rot, 0, col] = VRotate(_CanonicalData[rot - 1, 0, col]);
                    _CanonicalData[rot, 1, col] = VRotate(_CanonicalData[rot - 1, 1, col]);
                }
            }
        }

        private ICollection<ulong> Prev2(bool stillLife, ulong next, ulong prev, int idx, ICollection<ulong> accum) {
            if (stillLife) next = prev;

            if (idx == 0) {
                for (uint a = 0; a < _AlphabetSize; a++) Prev2(stillLife, next, SetColumn(0, idx, a), idx + 1, accum);
            }
            else if (idx < _Size) {
                uint i = GetColumn(prev, idx - 2), j = GetColumn(prev, idx - 1);
                uint jprime = GetColumn(next, idx - 1);
                uint[] succ = idx == 1 ? _PrevData1[Pack(jprime, j)] : _PrevData2[Pack(jprime, i, j)];
                foreach (uint b in succ) Prev2(stillLife, next, SetColumn(prev, idx, b), idx + 1, accum);
            }
            else {
                // Final checks: does the loop round work?
                uint a0 = GetColumn(prev, 0), a1 = GetColumn(prev, 1);
                uint am = GetColumn(prev, _Size - 2), an = GetColumn(prev, _Size - 1);
                if (_Transitions[Pack(am, an, a0)] == GetColumn(next, _Size - 1) &&
                    _Transitions[Pack(an, a0, a1)] == GetColumn(next, 0)) {
                    accum.Add(Canonicalise(prev));
                }
            }

            return accum;
        }

        internal void Solve() {
            DateTime start = DateTime.UtcNow;
            ICollection<ulong> gen = Prev2(true, 0, 0, 0, new HashSet<ulong>());
            for (int depth = 1; gen.Count > 0; depth++) {
                Console.WriteLine("Length {0}: {1}", depth, gen.Count);
                ICollection<ulong> nextGen;

                #if NET_40
                nextGen = new HashSet<ulong>(gen.AsParallel().SelectMany(board => Prev2(false, board, 0, 0, new HashSet<ulong>())));
                #else
                nextGen = new HashSet<ulong>();
                foreach (ulong board in gen) Prev2(false, board, 0, 0, nextGen);
                #endif

                // We don't want the still lifes to persist or we'll loop for ever
                if (depth == 1) {
                    foreach (ulong stilllife in gen) nextGen.Remove(stilllife);
                }

                gen = nextGen;
            }
            Console.WriteLine("Time taken: {0}", DateTime.UtcNow - start);
        }

        private ulong Canonicalise(ulong board)
        {
            // Find the minimum board under rotation and reflection using something akin to radix sort.
            Isomorphism canonical = new Isomorphism(0, 1, 0, 1);
            for (int xoff = 0; xoff < _Size; xoff++) {
                for (int yoff = 0; yoff < _Size; yoff++) {
                    for (int xdir = -1; xdir <= 1; xdir += 2) {
                        for (int ydir = 0; ydir <= 1; ydir++) {
                            Isomorphism candidate = new Isomorphism(xoff, xdir, yoff, ydir);

                            for (int col = 0; col < _Size; col++) {
                                uint a = canonical.Column(this, board, col);
                                uint b = candidate.Column(this, board, col);

                                if (b < a) canonical = candidate;
                                if (a != b) break;
                            }
                        }
                    }
                }
            }

            ulong canonicalValue = 0;
            for (int i = 0; i < _Size; i++) canonicalValue = SetColumn(canonicalValue, i, canonical.Column(this, board, i));
            return canonicalValue;
        }

        struct Isomorphism {
            int xoff, xdir, yoff, ydir;

            internal Isomorphism(int xoff, int xdir, int yoff, int ydir) {
                this.xoff = xoff;
                this.xdir = xdir;
                this.yoff = yoff;
                this.ydir = ydir;
            }

            internal uint Column(Codegolf9393 _this, ulong board, int col) {
                uint basic = _this.GetColumn(board, xoff + col * xdir);
                return _this._CanonicalData[yoff, ydir, basic];
            }
        }

        private uint VRotate(uint col) {
            return ((col << 1) | (col >> (_Size - 1))) & (_AlphabetSize - 1);
        }

        private uint VFlip(uint col) {
            uint replacement = 0;
            for (int row = 0; row < _Size; row++)
                replacement = SetBit(replacement, row, GetBit(col, _Size - row - 1));
            return replacement;
        }

        private uint GetBit(uint n, int bit) {
            bit %= _Size;
            if (bit < 0) bit += _Size;

            return (n >> bit) & 1;
        }

        private uint SetBit(uint n, int bit, uint value) {
            bit %= _Size;
            if (bit < 0) bit += _Size;

            uint mask = 1u << bit;
            return (n & ~mask) | (value == 0 ? 0 : mask);
        }

        private uint Pack(uint a, uint b) { return (a << _Size) | b; }
        private uint Pack(uint a, uint b, uint c) {
            return (((a << _Size) | b) << _Size) | c;
        }

        private uint GetColumn(ulong n, int col) {
            col %= _Size;
            if (col < 0) col += _Size;
            return (_AlphabetSize - 1) & (uint)(n >> (col * _Size));
        }

        private ulong SetColumn(ulong n, int col, uint value) {
            col %= _Size;
            if (col < 0) col += _Size;

            ulong mask = (_AlphabetSize - 1) << (col * _Size);
            return (n & ~mask) | (((ulong)value) << (col * _Size));
        }
    }
}

因子

USING: arrays grouping kernel locals math math.functions math.parser math.order math.ranges math.vectors sequences sequences.extras ;
IN: longest-gof-pattern

:: neighbors ( x y game -- neighbors )
game length :> len 
x y game -rot 2array {
    { -1 -1 }
    { -1 0 }
    { -1 1 }
    { 0 -1 }
    { 0 1 }
    { 1 -1 }
    { 1 0 }
    { 1 1 }
} [
    v+ [
        dup 0 <
        [ dup abs len mod - abs len mod ] [ abs len mod ]
        if
    ] map
] with map [ swap [ first2 ] dip nth nth ] with map ;

: next ( game -- next )
dup [
    [
        neighbors sum
        [ [ 1 = ] [ 2 3 between? ] bi* and ]
        [ [ 0 = ] [ 3 = ] bi* and ] 2bi or 1 0 ?
    ] curry curry map-index
] curry map-index ;

: suffixes ( seq -- suffixes )
{ }
[ [ [ suffix ] curry map ] [ 1array 1array ] bi append ]
reduce ;

! find largest repeating pattern
: LRP ( seq -- pattern )
dup length iota
[ 1 + [ reverse ] dip group [ reverse ] map reverse ] with
map dup [ dup last [ = ] curry map ] map
[ suffixes [ t [ and ] reduce ] map [ ] count ] map
dup supremum [ = ] curry find drop swap nth last ;

: game-sequence ( game -- seq )
1array [
    dup [
        dup length 2 >
        [ 2 tail-slice* [ first ] [ last ] bi = not ]
        [ drop t ] if
    ] [ LRP length 1 > not ] bi and
] [ dup last next suffix ] while ;

: pad-to-with ( str len padstr -- rstr )
[ swap dup length swapd - ] dip [ ] curry replicate ""
[ append ] reduce prepend ;

:: all-NxN-games ( n -- games )
2 n sq ^ iota [
    >bin n sq "0" pad-to-with n group
    [ [ 48 = 0 1 ? ] { } map-as ] map
] map ;

: longest-gof-pattern ( n -- game )
all-NxN-games [ game-sequence ] map [ length ] supremum-by but-last ;

いくつかの時間の統計：

IN: longest-gof-pattern [ 3 longest-gof-pattern ] time dup length . . 
Running time: 0.08850873500000001 seconds

3
{
   { { 1 1 1 } { 0 0 0 } { 0 0 0 } }
   { { 1 1 1 } { 1 1 1 } { 1 1 1 } }
   { { 0 0 0 } { 0 0 0 } { 0 0 0 } }
}

IN: longest-gof-pattern [ 4 longest-gof-pattern ] time dup length . . 
Running time: 49.667698828 seconds

10
{
  { { 0 1 1 0 } { 0 1 0 0 } { 0 1 0 0 } { 1 1 0 1 } }
  { { 0 1 1 0 } { 0 1 0 0 } { 0 1 0 0 } { 0 0 0 1 } }
  { { 0 1 1 0 } { 0 1 0 0 } { 0 0 1 0 } { 1 1 0 0 } }
  { { 0 1 1 0 } { 0 1 0 0 } { 0 0 1 0 } { 0 0 0 1 } }
  { { 0 1 1 0 } { 0 1 0 0 } { 0 0 1 0 } { 1 1 0 1 } }
  { { 0 1 1 0 } { 0 1 0 0 } { 0 0 1 1 } { 0 0 0 1 } }
  { { 0 1 0 1 } { 0 1 0 1 } { 0 0 1 1 } { 1 1 0 1 } }
  { { 1 1 0 1 } { 1 1 0 1 } { 0 0 0 0 } { 1 1 0 0 } }
  { { 1 1 0 1 } { 1 1 0 1 } { 0 0 1 1 } { 1 1 1 1 } }
  { { 0 0 0 0 } { 0 0 0 0 } { 0 0 0 0 } { 0 0 0 0 } }
}

そして、テスト5でREPLがクラッシュしました。ふむ プログラムの最も非効率的な部分は、おそらく関数game-sequenceです。後で改善できるかもしれません。