タスクの説明

数論では、カーマイケル関数 λは正の整数かかり  N戻る以上の正の整数kのようにk個の各整数の乗互いに素に、nは 1に等しいモジュロNを。

正の整数nが与えられた場合、解はλ（n）を計算する必要があります。バイト単位の最短コードが優先されます。

プログラムは理論的には任意の大きな入力に対して機能するはずですが、効率的である必要はありません。

ヒント

すべてのλ（n）のシーケンスはOEIS A002322です。

未実装のPython実装は次のようになります

from fractions import gcd

def carmichael(n):
    coprimes = [x for x in range(1, n) if gcd(x, n) == 1]
    k = 1
    while not all(pow(x, k, n) == 1 for x in coprimes):
        k += 1
    return k

（Pythonでは、pow(A, B, C)効率的に計算しpow(A, B) % Cます。）

テストケース

Input    Output
1        1
2        1
3        2
10       4
35       12
101      100
530      52
3010     84
6511     3056
10000    500

Mathematica、16バイト

CarmichaelLambda

まあ...

Python、76 73 67バイト

f=lambda n,k=1:1-any(a**-~k*~-a**k%n for a in range(n))or-~f(n,k+1)

オンラインでお試しください！

さらにバイトを返すことによって保存することができた真の代わりに、1。

代替実装

同じアプローチを使用して、リスト内包表記を使用しない@feersumによる次の実装もあります。

f=lambda n,k=1,a=1:a/n or(a**-~k*~-a**k%n<1)*f(n,k,a+1)or-~f(n,k+1)

この実装にはO（^nλ（n））時間を必要とすることに注意してください。実際にスコアを66バイトに減らしながら効率を劇的に改善できますが、関数は入力2に対してTrueを返します。

f=lambda n,k=1,a=1:a/n or~-a**k*a**-~k%n<1==f(n,k,a+1)or-~f(n,k+1)

バックグラウンド

定義と表記

使用される変数はすべて整数を示します。n、k、およびαは正の整数を表します。そしてpは正表します素数を。

| Bの場合、Bはで割り切れるがある場合、すなわち、QなるようにB = QA。

≡B（モッズメートル）場合とbが同じ残基モジュロ持ってメートルを場合、すなわち、M | a-b。

λ（n）が最小となるKのように^K ≡1（MOD N） -すなわち、例えばそのN | a ^k -1 – nと互いに素であるすべての a に対して。

F（n）が最小となるKよう^{2K + 1} ≡ ^{K + 1}（MOD N） -すなわち、例えばそのN | a ^{k + 1}（a ^k -1） –すべてのaに対して。

λ（n）≤f（n）

nを修正し、 aをnと互いに素にします。

fの定義により、n | a ^f（n）+1（a ^f（n） -1）。以来およびnは、共通の素因数を持たないでもないん^{F（n）は1を}とnはその意味、| nは a ^f（n） -1。

以来、λ（n）が最小の整数であり、kのようにN | a ^k -1nと互いに素であるすべての整数aについてため、λ（n）≤f（n）となります。

λ（n）= f（n）

不等式λ（n）≤f（n）をすでに確立しているので、k =λ（n）がfを定義する条件、つまりn | ^λ（N）+1（^λ（N） - 1）すべてのため。この目的のために、私たちはその確立うp個の^αを | ^λ（N）+1（^λ（N） - 1）たびにp個の^α | n個。

λ（k）| λ（n）は常にk | N（ソース）ので、（^λ（k） - 1）（^{λ（N）-λ（K）} + ^{λ（N）-2λ（K）} +⋯+ ^λ（K） + 1）= A ^λ（n）を - 1と、従って、^λ（k） - 1 | ^λ（n）を - 1 | ^λ（N）+1（^λ（N） - 1） 。

もしおよびP ^αの定義により、互いに素λ以上、p個の^α | ^{λ（p個のα）} - 1 | 必要に応じて、^aλ（n）+1（^aλ（n） -1）が続きます。

もし= 0、次いで、^λ（N）+1（^λ（N） - 1）= 0、全ての整数で割り切れます。

最後に、我々は、ケース検討しなければならないとpは^α、共通の素因数を持っています。pは素数なので、これはp | A。カーマイケルの定理は、p> 2またはα<3の場合はλ（^pα）=（p-1）^pα-1、それ以外の場合はλ（^pα）= ^pα-2であることを確立します。すべての場合において、λ（^pα）≥p ^- 2≥2α ^-2 >α-2です。

したがって、λ（N）+ 1≥λ（P ^α）+ 1>α - 1、そうλ（N）+ 1≥α及びP ^α | P ^{λ（n）を+1} | ^{λ（n）を+1} | a^λ（N）+1（^λ（N） - 1） 。これで証明が完了しました。

使い方

f（n）とλ（n）の定義はaのすべての可能な値を考慮しますが、[0、...、n-1]にある値をテストすれば十分です。

場合fは（N、k）が呼び出され、それは計算^{K + 1}（^K - 1）％Nの全ての値のためである範囲で0を場合にのみN | a ^{k + 1}（a ^k -1）。

計算されたすべての剰余がゼロの場合、k =λ（n）でFalseをany返すため、f（n、k）は1を返します。

一方、k <λ（n）の場合1-any(...)は0が返されるため、fはkの増分値で再帰的に呼び出されます。主要-~インクリメントの戻り値F（N、K + 1） 、我々は追加そう1にF（N、λ（N））= 1回ですべての整数のための[1、...、λ（N） - 1 ]。したがって、最終結果はλ（n）です。

組み込みのないMathematica、58 57バイト

エラーを発見してくれたMartin Enderに感謝します。

1バイト節約してくれたマイルに感謝します！（私には2のように思えた）

ビルトインはまったく問題ありませんが、ブルートフォースを使用せずに実装したい人のために、Carmichael関数の式を示します。

LCM@@(EulerPhi[#^#2]/If[#==2<#2,2,1]&@@@FactorInteger@#)&

pが素数の場合、Carmichael関数λ（p ^ r）はφ（p ^ r）=（p-1）* p ^（r-1）と等しくなります。ただし、p = 2およびr≥3の場合は例外です。それは半分、つまり2 ^（r-2）です。

nの素数分解がp1 ^ r1 * p2 ^ r2 * ...に等しい場合、λ（n）は{λ（p1 ^ r1）、λ（p2 ^ r2）、..の最小公倍数に等しくなります。 。}。

ランタイムは、最初に整数を因数分解することよりも一瞬です。

有害と見なされるテンプレート、246バイト

Fun<Ap<Fun<If<Eq<A<2>,T>,A<1>,And<Eq<Ap<Fun<If<A<1>,Ap<A<0>,Rem<A<2>,A<1>>,A<1>>,A<2>>>,A<1,1>,A<2>>,T>,Sub<Ap<Fun<Rem<If<A<1>,Mul<A<2,1>,Ap<A<0>,Sub<A<1>,T>>>,T>,A<1,2>>>,A<1>>,T>>,Ap<A<0>,Add<A<1>,T>,A<1,1>>,Ap<A<0>,A<1>,Sub<A<2>,T>>>>,T,A<1>>>

名前のない関数（名前のある関数があるわけではありません）。

これは忘れられた私のesolangであり、テンプレートをインスタンス化するC ++コンパイラによって解釈されます。デフォルトの最大テンプレート深度でg++、λ（35）は実行できますが、λ（101）は実行できません（遅延評価は事態を悪化させます）。

Haskell、57 56バイト

f n=[k|k<-[1..],and[mod(m^k)n<2|m<-[1..n],gcd m n<2]]!!0

ゼリー、2バイト

Æc

組み込み、@ Lynnをありがとう

Pyth- 19 18 17バイト

@TheBikingVikingのおかげで1バイト節約できました。

総当たり攻撃。

f!sm*t.^dTQq1iQdQ

こちらからオンラインでお試しください。

ルビー、 59 56バイト

->x{a=1..x
a.detect{|k|a.all?{|y|x.gcd(y)>1||y**k%x<2}}}

J、28 27バイト

[:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]

Carmichael関数はλ（n）であり、tientient関数はφ（n）です。

用途λ（定義のp ^K）=φ（Pの^K）/ 2であれば、P = 2、K > 2そうφ（Pの^K）。次に、一般的なn = p ₁ ^{k ₁} p ₂ ^{k ₂} ⋯ p _i ^{k _iの}場合、λ（n）= LCM [λ（p ₁ ^{k ₁}）λ（p ₂ ^{k ₂}）⋯λ（p _i ^{k _i}）] 。

使用法

複数の入出力をフォーマットするために使用される追加コマンド。

   f =: [:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]
   f 530
52
   (,.f"0) 1 2 3 10 35 101 530 3010 6511 10000
    1    1
    2    1
    3    2
   10    4
   35   12
  101  100
  530   52
 3010   84
 6511 3056
10000  500

説明

[:*./@(5&p:%2^0=8&|)2^/@p:]  Input: integer n
                          ]  Identity function, get n
                    2   p:   Get a table of prime/exponent values for n
                     ^/@     Raise each prime to its exponent to get the prime powers of n
[:    (            )         Operate on the prime powers
                8&|            Take each modulo 8
              0=               Test if its equal to 0, 1 if true else 0
            2^                 Raise 2 to the power of each
       5&p:                    Apply the totient function to each prime power
           %                   Divide it by the powers of 2
  *./@                       Reduce using LCM and return

実際には、30 28 25 19 26バイト

Carmichael関数は、λ(n)に分割される最大素数のn = p_0**k_0 * p_1**k_1 * ... * p_a**k_a最小公倍数（LCM）として定義されます。プライムがである場合を除いて、すべてのプライムべき乗に対して、カーマイケル関数はオイラーのトーティエント関数に相当するため、代わりに使用します。where の特殊なケースでは、プログラムの先頭で分割するかどうかを確認し、分割する場合は2で分割します。λ(p_i**k_i)p_i**k_in2λ(n) == φ(n)φ(n)2**kk ≥ 32**3 = 8n

残念ながら、実際には実際にはLCMが組み込まれていないため、ブルートフォースLCMを作成しました。ゴルフの提案を歓迎します。オンラインでお試しください！

;7&Yu@\w`iⁿ▒`M╗2`╜@♀%ΣY`╓N

アンゴルフ

         Implicit input n.
;        Duplicate n.
7&       n&7 == n%8.
Yu       Logical NOT and increment. If n%8 == 0, return 2. Else, return 1.
@\       Integer divide n by 2 if n%8==0, by 1 otherwise.
          Thus, we have dealt with the special case where p_i == 2 and e_i >= 3.
w        Full prime factorization of n as a list of [prime, exponent] lists.
`...`M   Map the following function over the prime factorization.
  i        Flatten the array, pushing exponent, then prime to the stack.
  ⁿ▒       totient(pow(prime, exponent)).
╗        Save that list of totients in register 0.
2`...`╓  Get the first two values of n where the following function f(n) is truthy.
         Those two numbers will be 0 and our LCM.
  ╜@       Push the list in register 0 and swap with our n.
  ♀%       Get n mod (every number in the list)
  Σ        Sum the modulos. This sum will be 0, if and only if this number is 0 or LCM.
  Y        Logical NOT, so that we only get a truthy if the sum of modulos is 0.
N        Grab the second number, our LCM. Implicit return.

JavaScript（ES6）、143 135バイト

編集：ニールのおかげで8バイト保存

関数型プログラミングを使用した実装。

n=>(A=[...Array(n).keys()]).find(k=>k&&!c.some(c=>A.slice(0,k).reduce(y=>y*c%n,1)-1),c=A.filter(x=>(g=(x,y)=>x?g(y%x,x):y)(x,n)==1))||1

非ゴルフとコメント

n =>                                          // Given a positive integer n:
  (A = [...Array(n).keys()])                  // Build A = [0 ... n-1].
  .find(k =>                                  // Try to find k in [1 ... n-1] such as
    k && !c.some(c =>                         // for each coprime c: c^k ≡ 1 (mod n).
      A.slice(0, k).reduce(y =>               // We use reduce() to compute
        y * c % n, 1                          // c^k mod n.
      ) - 1                                   // Compare it with 1.
    ),                                        // The list of coprimes is precomputed
    c = A.filter(x =>                         // before the find() loop is executed:
      (                                       // for each x in [0 ... n-1], keep
        g = (x, y) => x ? g(y % x, x) : y     // only integers that verify:
      )(x, n) == 1                            // gcd(x, n) = 1
    )                                         // (computed recursively)
  ) || 1                                      // Default result is 1 (for n = 1)

デモ

それがために仕事をしていますが6511して10000、それは少し遅くなる傾向にあるように、私はここには含まれません。

let f =
n=>(A=[...Array(n).keys()]).find(k=>k&&!c.some(c=>A.slice(0,k).reduce(y=>y*c%n,1)-1),c=A.filter(x=>(g=(x,y)=>x?g(y%x,x):y)(x,n)==1))||1

console.log(f(1));     // 1
console.log(f(2));     // 1
console.log(f(3));     // 2
console.log(f(10));    // 4
console.log(f(35));    // 12
console.log(f(101));   // 100
console.log(f(530));   // 52
console.log(f(3010));  // 84

Ruby、101 86 91 90バイト

実際の回答の Rubyへの移植。ゴルフの提案を歓迎します。

編集：削除すると-4バイトa、1返されたバグを修正すると+9バイトnil。Cyoceのおかげで-1バイト。

require'prime'
->n{((n%8<1?n/2:n).prime_division<<[2,1]).map{|x,y|x**~-y*~-x}.reduce :lcm}

アンゴルフ

require 'prime'
def carmichael(n)
  if n%8 < 1
    n /= 2
  end
  a = []
  n.prime_division.do each |x,y|
    a << x**(y-1)*(x-1)
  end
  return a.reduce :lcm
end

JavaScript（ES 2016）149

JSに移植されたPythonリファレンス実装。いくつかの空想Pyhton組み込み関数は次のように、JSに欠けているgcdとpow、配列の理解は、ES 6. Firefoxでこの作品では標準ではありません。

n=>eval('for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,p=(a,b,c)=>eval("for(r=1;b--;)r=r*a%c"),c=[for(_ of Array(i=n))if(g(i--,n)<2)i+1],k=1;c.some(x=>p(x,k,n)-1);)++k')

少ないゴルフ

n=>{
  g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a
  p=(a,b,c)=>{ 
    for(r=1;b--;)
      r=r*a%c
    return r
  }
  c=[for(_ of Array(i=n)) if(g(i--,n)<2) i+1]
  for(k=1;c.some(x=>p(x,k,n)-1);)
    ++k
  return k
} 

Java、 209 207 202 194 192バイト

コード（96バイト）：

n->{for(int x,k=1,a;;k++){for(a=1,x=0;++x<=n&&a<2;)a=g(x,n)<2?p(x,k,n):1;if(a<2||n<2)return k;}}

追加機能（96バイト）：

int g(int a,int b){return b<1?a:g(b,a%b);}int p(int n,int p,int m){return p<2?n:n*p(n,p-1,m)%m;}

テストと未使用

import java.util.Arrays;
import java.util.function.IntUnaryOperator;

public class Main2 {

  static int g(int a,int b) { // recursive gcd
    return b < 1
        ? a
        : g(b,a%b);
  }

  static int p(int n, int p, int m) { // recursive modpow
    return p < 2
      ? n
      : n * p(n, p - 1, m) % m;
  }

  public static void main(String[] args) {

    IntUnaryOperator f = n -> {
      for(int x,k=1,a;;k++) { // for each k
        for(a=1,x=0;++x<=n&&a<2;) // for each x
          a=g(x,n)<2?p(x,k,n):1; // compute modpow(x,k,n) if g(x,n)
        if(a<2||n<2) // if all modpow(x,k,n)=1. Also check for weird result for n=1.
          return k;
      }
    };

    Arrays.stream(new int[]{1, 2, 3, 10, 35, 101, 530, 3010, 6511, 10000})
        .map(f)
        .forEach(System.out::println);
  }
}

ノート

• 使用aであることは、int私が使用していた場合よりも短くなっているboolean私のテストを実行します。
• はい、valueOfすべての新規のBigInteger場合は、個別の関数を作成するよりも短くなります（5つあり、ONE定数は無料です）。
• アルゴリズムは@Master_ex 'アルゴリズムとは異なるため、単なるゴルフのリポストではありません。また、このアルゴリズムはgcd、同じ値に対して何度も計算されるため、効率が大幅に低下します。

ひげそり

1. 209-> 207バイト：
   • if(...)a=...; -> a=...?...:1;
   • a==1 -> a<2
2. 207-> 202バイト
   • BigIntegerゴルフgcdとmodPowでなくしましたint。
3. 202-> 194バイト
   • ループmodPow->再帰的
4. 194-> 192バイト
   • ==1-> <2（すべてのテストケースで機能すると思われますが、他の数値ではわかりません。）

Java8 38 19 + 287 295 253 248 241 = 325 333 272 267 260バイト

BigInteger B(int i){return new BigInteger(""+i);}int c(int...k){int n=k[0];for(k[0]=1;n>1&!java.util.stream.IntStream.range(0,n).filter(i->B(n).gcd(B(i)).equals(B(1))).allMatch(x->B(x).modPow(B(k[0]),B(n)).equals(B(1)));k[0]++);return k[0];}

インポート、19バイト

import java.math.*;

説明

これは単純な実装です。共素数はで計算されますSet pすべてのk乗が1モジュロnに等しいかどうかを確認するために使用されます。

BigInteger精度の問題のために使用する必要がありました。

使用法

public static void main(String[] args) {
    Carmichael c = new Carmichael();
    System.out.println(c.c(3)); // prints 2
}

非ゴルフ

// returns the BigInteger representation of the given interger
BigInteger B(int i) {
    return new BigInteger(""+i);
}
// for a given integer it returns the result of the carmichael function again as interger
// so the return value cannot be larger
int c(int... k) {
    int n = k[0];
    // iterate k[0] until for all co-primes this is true: (x^n) mod n == 1, if n==1 skip the loop
    for (k[0]=1;n > 1 && !java.util.stream.IntStream.range(0, n)
                .filter(i -> B(n).gcd(B(i)).equals(B(1)))
                .allMatch(x -> B((int) x).modPow(B(k[0]), B(n)).equals(B(1)));k[0]++);
    return k[0];
}

もっとゴルフをする提案は大歓迎です:-)

更新

• 状態を保持する関数以外の要素はありません
• OlivierGrégoireのアドバイスに従い、1バイトを保存しました B()
• k()メソッドとp（コプライム）セットを削除しました。
• intへの不要なキャストを削除しました。
• varagを追加し、whileの代わりに使用します。

Java, 165 163 158 152 143 bytes

int l(int n){int k=1,x,a,b,t,d=1;for(;d>0;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;b>0;b=a%b,a=t)t=b;for(t=b=1;b++<=k;t=t*x%n);}return k;}

Another port of my C implementation.

Try it on Ideone

C++, 208 200 149 144 140 134 bytes

[](int n){int k=1,x,a,b,t,d=1;for(;d;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;t=b;a=t)b=a%b;for(t=1,b=k;b--;t=t*x%n);}return k;};

A port of my C implementation.

Try it on Ideone

ラケット218バイト

(λ(n)(let((fl #f)(cl(for/list((i n) #:when(coprime? n i))i)))(for/sum((k(range 1 n))#:break fl)(set! fl #t)
(for((i(length cl))#:break(not fl))(when(not(= 1(modulo(expt(list-ref cl i)k)n)))(set! fl #f)))(if fl k 0))))

ゴルフされていないバージョン：

(require math)
(define f
  (λ(n)
    (let ((fl #f)
          (cl (for/list ((i n) #:when (coprime? n i))
                i)))
             (for/sum ((k (range 1 n)) #:break fl)
               (set! fl #t)
               (for ((i (length cl)) #:break (not fl))
                 (when (not (= 1 (modulo (expt (list-ref cl i) k) n)))
                   (set! fl #f)))
               (if fl k 0)))))

テスト：

(f 2) 
(f 3)
(f 10)
(f 35)
(f 101)
(f 530)
(f 3010)
(f 6511)
(f 10000)

出力：

1
2
4
12
100
52
84
3056
500

C、278276272265265256243140134125バイト

k,x,a,b,t,d;l(n){for(k=d=1;d;)for(d=x=0;++x<n;d=a<2&t>1?k++:d){for(a=x,b=n;t=b;a=t)b=a%b;for(t=1,b=k;b--;t=t*x%n);}return k;}

これは、遅いモジュラーべき乗アルゴリズムを使用し、GCDを頻繁に計算し、メモリをリークしません！

ゴルフをしていない：

int gcd( int a, int b ) {
  int t;
  while( b ) {
    t = b;
    b = a%b;
    a = t;
  }
  return a;
}
int pw(int a,int b,int c){
  int t=1;
  for( int e=0; e<b; e++ ) {
    t=(t*a)%c;
  }
  return t;
}
int carmichael(int n) {
  int k = 1;
  for( ;; ) {
    int done = 1;
    for( int x=1; x<n; x++ ) {
      if( gcd(x,n)==1 && pw(x,k,n) != 1 ) {
        done = 0;
        k++;
      }
    }
    if( done ) break;
  }
  return k;
}

Ideoneでお試しください

公理129バイト

c(n)==(r:=[x for x in 1..n|gcd(x,n)=1];(v,k):=(1,1);repeat(for a in r repeat(v:=powmod(a,k,n);v~=1=>break);v<=1=>break;k:=k+1);k)

少ないゴルフ

cml(n)==
 r:=[x for x in 1..n|gcd(x,n)=1];(v,k):=(1,1)
 repeat 
   for a in r repeat(v:=powmod(a,k,n);v~=1=>break)
   v<=1=>break
   k:=k+1
 k

結果

(3) -> [i,c(i)] for i in [1,2,3,10,35,101,530,3010,6511,10000]
   Compiling function c with type PositiveInteger -> PositiveInteger

   (3)
   [[1,1], [2,1], [3,2], [10,4], [35,12], [101,100], [530,52], [3010,84],
    [6511,3056], [10000,500]]
                                             Type: Tuple List PositiveInteger