エグゼクティブサマリー：整数の入力シーケンスが「許容される」かどうかをテストします。これは、モジュラスのすべての剰余クラスをカバーしないことを意味します。

「許容される」シーケンスとは何ですか？

整数m≥2が与えられた場合、mを法とする剰余類は、共通の差mのmの算術級数になります。たとえば、m = 4の場合、4を法とする4つの剰余クラスは

..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...
..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...
..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...
..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...

k番目の剰余クラスは、mで除算したときの剰余がkに等しいすべての整数で構成されます。（負の整数に対して「剰余」を正しく定義している限り）

整数a1、a2、...、akのシーケンスは、剰余クラスの少なくとも1つと交差しない場合、mを法として許容されます。たとえば、{0、1、2、3}および{-4、5、14、23}は4を法とする許容値ではありませんが、{0、1、2、4}および{0、1、5、9 }および{0、1、2、-3} は 4を法として許容されます。また、{0、1、2、3、4}は4を法として許容されませんが、{0、1、2} は 4を法として許容されます。

最後に、整数のシーケンスは、すべての整数m≥2に対してモジュロmで許容される場合、単純に許容されます。

チャレンジ

入力として整数のシーケンスを受け取り、シーケンスが許容される場合は（一貫した）Truthy値を返し、シーケンスが許容されない場合は（一貫した）Falsy値を返すプログラムまたは関数を作成します。

整数の入力シーケンスは、任意の妥当な形式にすることができます。入力シーケンスに少なくとも2つの整数があると仮定できます。（必要に応じて入力整数が異なると仮定することもできますが、おそらく役に立ちません。）正および負の整数（および0）を処理できる必要があります。

通常のコードゴルフスコアリング：バイト単位の最短回答が勝ちます。

サンプル入力

次の入力シーケンスは、それぞれTruthy値を提供する必要があります。

0 2
-1 1
-100 -200
0 2 6
0 2 6 8
0 2 6 8 12
0 4 6 10 12
-60 0 60 120 180
0 2 6 8 12 26
11 13 17 19 23 29 31
-11 -13 -17 -19 -23 -29 -31

次の入力シーケンスはそれぞれ、Falsy値を提供する必要があります。

0 1
-1 4
-100 -201
0 2 4
0 2 6 10
0 2 6 8 14
7 11 13 17 19 23 29
-60 0 60 120 180 240 300

チップ

• 3以下の整数のシーケンスは4を法として自動的に許容されることに注意してください。より一般的には、m> kの場合、長さkのシーケンスはmを法として自動的に許容されます。許容性のテストでは、実際には有限数のmをチェックするだけで済みます。
• また、2は4を除算し、2を法とする許容可能なシーケンス（つまり、すべて偶数またはすべて奇数）は4を法として自動的に許容されることに注意してください。 nを法として自動的に許容されます。したがって、許容性を確認するには、必要に応じて素数mのみを考慮するだけで十分です。
• a1、a2、...、akが許容可能なシーケンスである場合、任意の整数c（正または負）に対してa1 + c、a2 + c、...、ak + cも許容されます。

数学的関連性（オプションの読み取り）

a1、a2、...、akを整数のシーケンスとします。n + a1、n + a2、...、n + akがすべて素数であるような整数nが無限にあるとします。それから、a1、a2、...、akが許容可能である必要があることを示すのは簡単です。実際、a1、a2、...、akは許容できないと仮定し、mを、a1、a2、...、akがmを法として許容できないような数とする。次に、どのnを選択しても、数値n + a1、n + a2、...、n + akのいずれかはmの倍数でなければならないため、素数にはなりません。

の プライムK-タプル予想は、まだ数論で大きく開いて問題となっているこの文の逆、である：それはA1、A2場合、...、AKは許容シーケンス（またはであることを主張するK-タプル）、そこn + a1、n + a2、...、n + akがすべて素数であるような無限に多くの整数nでなければなりません。たとえば、許容されるシーケンス0、2は、nとn + 2の両方が素数になるように無限に多くの整数nが存在する必要があるというステートメントを生成します。これは双子素数予想です（まだ証明されていません）。

ゼリー、10バイト

JḊðḶḟ%@ð€Ạ

オンラインでお試しください！または、すべてのテストケースを実行します。

               Input: L.
JḊ             Range of [2..len(L)].
  ð    ð€      For x in [2..len(L)]:
   Ḷ             [0..x-1] (residue classes)
    ḟ              without elements from
     %@            L % x.
         Ạ     All truthy (non-empty)?

Brachylog、25 24 19バイト

Karl Napfのおかげで5バイト。

lybb '（eM-yA、？：[M] z：％aodA）
l：2'（eM-yA、？：[M] z：％aodA）
l：2 '（eMg：？rz：％adlM）

オンラインでお試しください！

すべてのテストケースを確認してください！

l:2'(eMg:?rz:%adlM)
l:2                  Temp = [2:length(input)]
   '(             )  true if the following cannot be proven:
     eM                  M is an element of the interval
                         indicated by Temp, i.e. from 2
                         to the length of input inclusive,
       g:?rz:%adlM       every element of input modulo M
                         de-duplicated has length M.

Python、 61 60バイト

q=lambda l,d=2:d>len(l)or q(l,d+1)&(len({v%d for v in l})<d)

イデオンのすべてのテストケース

編集：1バイトを節約するために論理的およびビット単位の＆に置き換え

JavaScript（ES6）、59バイト

a=>a.every((_,i)=>!i++|new Set(a.map(e=>(e%i+i)%i)).size<i)

@KarlNapfの剰余セットのトリックを使用します。

Python、67 64バイト

名前のないラムダとして：

lambda N:all(len({i%m for i in N})<m for m in range(2,len(N)+1))

• EDIT1：交換しset()て{}
• Edit2：ジェネレーターの周りに角括弧は必要ありません all(...)
• 編集3：ジョナサン・アランが指摘したrangeように、len(N)+1

関数としての古いコード（96バイト）：

def f(N):
 for m in range(2,len(N)+1):
    if len(set(i%m for i in N))==m:return False
 return True

Mathematica、51バイト

And@@Table[Length@Union@Mod[#,i]<i,{i,2,Length@#}]&

MATL、11バイト

"X@QGy\un>v

Truthyは、すべてを含む配列（列ベクトル）です。Falsyは、少なくとも1つのゼロを含む配列です。これらの定義は次を使用して確認できます。このリンクてます。

オンラインでお試しください！または、すべてのテストケースを確認します。 truthy、falsy（コードを少し修正し、各ケースは明確にするために水平ベクトルを生成します）。

説明

"       % Take input array. For each; i.e. repeat n times, where n is arrray size
  X@Q   %   Push iteration index plus 1, say k. So k is 2 in the first iteration,
        %   3 in the second, ... n+1 in the last. Actually we only need 2, ..., n;
        %   but the final n+1 doesn't hurt
  G     %   Push input again
  y     %   Duplicate k onto the top of the stack
  \     %   Modulo. Gives vector of remainders of input when divided by k
  un    %   Number of distinct elements
  >     %   True if that number is smaller than k
  v     %   Vertically concatenate with previous results
        % End for each. Implicitly display